1r ciclo Radio de la órbita del satelite

[jssln]

Buenas alguien podría decirme si he planteado bien este ejercicio.

Un satélite artificial de la Tierra se mueve de este a oeste en una órbita circular situada sobre el plano del ecuador. ¿Cuál tendrá que ser el radio de la órbita para que el satélite permanezca inmóvil respecto de un observador terrestre?

Para verlo quieto, debe tener órbita geoestacionaria y utilizar la tercera ley de Kepler:

$\frac{a^{3}}{P^{2}} = \frac{\alpha }{4\pi ^{2}m} = \frac{GM_{\Theta }}{4\pi ^{2}}$

De esta forma:
$a = \sqrt[3]{\frac{GM_{\Theta }P^{2}}{4\pi ^{2}}}$
$a = \sqrt[3]{1 \frac{UA^{3}}{ANO^{2}}\frac{1ANO^{2}}{365}} = 0.14 UA$

[Alriga]

Segunda ley de Newton:

$F=m a$

Ley de gravitación universal con M la masa de la Tierra y m la del Satélite:

$F=G\dfrac{M m}{r^2}$

Aceleración centrípeta de un movimiento circular uniforme:

$a=m\dfrac {v^2}r=m \omega^2 r$

Combinando:

$G\dfrac{M}{r^2}=\omega^2 r$

Despejamos el radio de la órbita:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{GM}{\omega^2}}$

Naturalmente, un satélite geoestacionario, si queremos que aparentemente siempre permanezca en el mismo punto visto desde la Tierra, debe dar una vuelta en el mismo tiempo que lo da la Tierra, ~1 día~24 horas:

$\omega\approx \dfrac{2 \pi}{24\cdot 60\cdot 60}$

$G=6.6743\cdot 10^{-11}$ unidades SI

$M=5.972\cdot 10^{24}$ kg

$r \approx 42241$ km

Nota que esta distancia se cuenta desde el centro de la Tierra, la altura del satélite desde la superficie de la Tierra es ~35870 km

Saludos.

EDITADO: naturalmente, lo que dice Richard en #3 es correcto, si se desea mayor precisión, en vez de 24 horas hay que usar el valor del período sidéreo medio que define la Unión Astronómica Internacional $T=23^h \ 56^m \ 04.098904^s$

Gracias Richard.

[jssln]

Pero claro si lo hiciera así, tendría que usar unos datos que no tengo, por eso creo que es más conveniente la tercera ley de Kepler.

[Richard R Richard]

Hola , revisa las unidades además de un cuadrado que no has puesto al dividir el año en 365.25dias(sí, debes ser más preciso) una $UA\equiv149 597 870 700m$ , la orbita estacionaria o geosincronica es de aproximadamente 42164000m según la wikipedia

Usando datos del sistema métrico internacional

$a=\sqrt[3]{\dfrac{\notcien{6.67428}{-11} m^3/kgs^2\notcien{5.972}{24}kg (23h\cdot3600s/h+56min\cdot60s/min+4s)^2 }{4\pi^2}}=42163701m\equiv42163.701km$ bastante cerca al dato de la wiki por aproximación , un error de menos de 300m en 42000km.


Hola Alriga para el periodo se usa el dia de 23 horas, 56 minutos y 4 segundos, tiempo de rotacion sobre su eje.

Saludos

[jssln]

Pero así tendría que usar unos datos que no tengo, por eso hago el cambio a UA, es decir, ¿cómo yo lo planteo estaría bien? Solo tendría que corregir el periodo de la Tierra y añadir el cuadrado, ¿No?

[Richard R Richard]

El dato de G debe además estar expresado en unidades de longitud coherentes con UA, Cual es ese dato?, si tienes como dato $\alpha$ ccreo que no es exactamente una unidad en esa fórmula.

[Alriga]

...Pero así tendría que usar unos datos que no tengo...

Tienes los mismos datos usando el procedimiento (1) o el (2) :

1) Usando la 2ª Ley de Newton, la Ley de Gravitación Universal y que la órbita es circular uniforme:

Combinando:

$G\dfrac{M}{r^2}=\omega^2 r$

Despejamos el radio de la órbita:

$r=\sqrt[3]{\dfrac{GM}{\omega^2}}$

Con $\omega=\dfrac{2\pi}T$

Nota que lo que hemos hecho en el post#2 ha sido demostrar la 3ª ley de Kepler para órbitas circulares, mira el hilo Leyes de Kepler

2) Aplicando directamente la Tercera ley de Kepler:

$\dfrac{r^{3}}{T^{2}} = \dfrac{GM}{4\pi ^{2}}$

$r^3=GM \left (\dfrac T {2 \pi}\right )^2$

$\omega=\dfrac{2\pi}T$

$r^3=\dfrac{GM}{\omega^2}$

$r=\sqrt[3]{\dfrac{GM}{\omega^2}}$

$a = \sqrt[3]{1 \dfrac{UA^{3}}{ANO^{2}}\dfrac{1ANO^{2}}{365}} = 0.14 UA$

jssln , no se entiende lo que has calculado ahí, pero observa que poner T=1 año en la 3ª Ley de Kepler en vez de T=1 día es seguro un error: el satélite geoestacionario tarda un día en dar una vuelta, no un año. Y nota también que medir en UA la altura de un satélite geoestacionario, es como medir en km las dimensiones de tu somier para ir después a la tienda a comprar un colchón a medida.

Saludos.

[Richard R Richard]

Sabiendo que $1UA\equiv149597870700m$ y que un año sideral tiene $366.255936$ dias siderales de $23^h \ 56^m \ 04.098904^s$ cada uno un año promedio dura $31561529,7550497894144segundos$

la constante de gravitación universal $G$ expresada en unidades astronómicas de longitud y en años como unidad de tiempo sería

$G_{UA}\equiv\dfrac{\notcien{6.67428}{-11}m^3/kg/s^2}{(149597870700m/UA)^3}31561529.7550497894144 s/A=\notcien{1.98584}{-29}UA^3/kg/A^2$

la frecuencia angular $\omega_A =\dfrac{2\pi}{P}=\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{366.255936d/A}}=2301,253915 rad/A$

luego $a=\sqrt[3]{\dfrac{G_{UA}M_{\Theta}}{\omega_A^2}}=\notcien{2.818}{-4}UA$

Ese era el cálculo si las constantes hubiesen estado presentadas en esas unidades.

Aunque si lo que querias era presentar el resultado en unidades astronómicas la simple conversión

$a=42164000m\equiv\dfrac{42164000m}{149597870700m/UA}=\notcien{2,818}{-4}UA$

te lleva directo al resultado ,cuanto más refinadas y precisas las conversiones más exacto será un camino respecto el otro.