1r ciclo Semieje mayor de la orbita y masa de un exoplaneta

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Buenas tardes, tengo una duda sobre este ejercicio.

La distancia de la estrella de Barnard es 1.83 pc y su masa, 0.135 M_solar En el pasado se sugirió que la estrella de Barnard tenía una oscilación de 0.026'' con un periodo de 25 años. Suponiendo que esta oscilación fuera causada por un planeta, obtén su masa (considerando ésta mucho menor que la de la estrella) y el semieje mayor de su órbita.

Creo que se resuelve con la tercera ley de Kepler: a³/ P² = GM / 4π² comparando ambas relaciones pero no entiendo para que se usa la oscilación, ¿Alguien podría ayudarme?

[Alriga]

La distancia de la estrella de Barnard es 1.83 pc y su masa, 0.135 M_solar En el pasado se sugirió que la estrella de Barnard tenía una oscilación de 0.026'' con un periodo de 25 años. Suponiendo que esta oscilación fuera causada por un planeta, obtén su masa (considerando ésta mucho menor que la de la estrella) y el semieje mayor de su órbita.

El semieje mayor de la órbita del planeta se obtiene de la 3ª ley de Kepler, nos dan la masa de la estrella $M_e=0.135 M_{\sun}$ y el período de revolución $T=25$ años

$$a=\sqrt[3]{\dfrac{GM_e}{4\pi^2} \ T^2 \ }$$

Para calcular el radio del movimiento circular de bamboleo de la estrella sabiendo la distancia a la estrella $d=1.83 \ pc$ y el ángulo, que es $\alpha =0.026"$ usamos trigonometría básica:

$r=d \tan \dfrac{\alpha}2$

Como el ángulo es muy pequeño:

$r \simeq \dfrac{\alpha d}2$

Estimamos la velocidad orbital de la estrella, suponiendo que la órbita "de bamboleo" es circular:

$v_e=\dfrac{2\pi r}T$

Estimamos la velocidad de traslación del planeta, suponiendo órbita circular.

$v_p=\dfrac{2\pi a}T$

La igualdad de momentos:

$M_e v_e=m_p v_p$

Nos permite obtener la estimación de la masa del planeta:

$m_p=\dfrac{M_e v_e}{v_p}$

$$m_p=\dfrac r a \ M_e$$

Saludos.

Result. $a\simeq 4.39 \ UA \quad m_p\simeq 0.77$ masas de Júpiter

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Muchas gracias por todo, lo que es la masa del plantea me ha salido perfecto, pero la solución del semieje mayor es 4.4 UA, ¿cual seria el cambio que relaciona la mas del sol con la UA?

[Alriga]

He utilizado en los cálculos los siguientes valores:

$G=6.6743\cdot 10^{-11}$ S.I.

$M_{\sun}=1.98847\cdot 10^{30}$ kg

$M_e=2.6844\cdot 10^{29}$ kg

$T=25\cdot 365.25\cdot 24\cdot 60\cdot 60$ s

Y he obtenido aplicando la 3ª Ley de Kepler:

$a=656.1\cdot 10^9$ m

Como $1 \ UA=149597870700 \ m \ \simeq 149.6\cdot 10^9 \ m \rightarrow a=4.39$ UA

Es habitual para exoplanetas dar sus distancias a la estrella en Unidades Astronómicas. En cuanto a sus masas, si éstas son grandes ("gigantes gaseosos") suelen darse en "masas de Júpiter" y si son pequeñas ("planetas rocosos") en "masas de la Tierra". A veces, para exoplanetas de tamaño intermedio, también se expresa su masa en "masas de Neptuno"

$M_{Jupiter}=1.89813\cdot 10^{27}$ kg

Saludos.

[jssln]

Vale muchas gracias, ahora lo he entendido, el único problema que veo es que la solución del ejercicio la masa está en función de la masa solar dando como solución:
Mp = 0.00074 M solar;pero el radio no, y no sé si el dato de la masa solar se puede usar o no, pero supongo que si porque sino no tendría sentido ya que la masa del sol no desaparece en el eje mayor.

[Alriga]

...el único problema que veo es que la solución del ejercicio la masa está en función de la masa solar dando como solución: Mp = 0.00074 M solar;

pero el radio no, y no sé si el dato de la masa solar se puede usar o no, pero supongo que si porque sino no tendría sentido ya que la masa del sol no desaparece en el eje mayor...

Si te dan como dato que la masa de la estrella como $M_e=0.135 M_{\sun}$ es necesario usar como dato la masa del sol en kg para poder utilizar la tercera ley de Kepler y obtener el semieje mayor de la órbita en unidades de longitud. Solo si tenemos $a$ en unidades de longitud lo podremos relacionar con el radio de bamboleo de la estrella $r$ calculado a partir de los datos de la distancia a la estrella y el ángulo de bamboleo, radio que se obtiene en unidades de longitud.

¿Qué valor y en qué unidades da el solucionario el semieje mayor $a$ de la órbita?

Saludos.

[jssln]

Las soluciones son masa del planeta 0.0074 * masa del sol y la del semieje mayor es 4.4 UA, pero lo que me extraña es que la masa del planeta la de en función de la masa del sol y la del radio del semieje no, pero supongo que sera porque en la primera no habran querido calcularla, muchas gracias por ls ayuda.