¿¿Detectadas las primeras ondas gravitacionales procedentes de la fusión de 2 estrellas de neutrones??

[Alriga]

... Aprovechando más de $10^9$ modelos de equilibrio para cada clase de EOS, producimos funciones de distribución de todas las propiedades estelares y determinamos, entre otras cantidades, el radio que es estadísticamente más probable para cualquier valor de la masa estelar.

De este modo, se deduce que el radio de una estrella de neutrones puramente hadrónica con una masa típica representativa de $1,4 \ M_{\sun}$ está limitado a 12.00 < R <13.45 km siendo el valor más probable para una estrella de esta masa R = 12.39 km...

El estudio es New constraints on radii and tidal deformabilities of neutron stars from GW170817

Hoy he visto un nuevo estudio de cual debe ser el radio de una estrella de neutrones típica realizado a partir del evento multimensajero GW170817. Me ha llamado la atención que da un número diferente del estudio de la cita superior, y que las incertidumbres de ambos papers no se solapan. Dice el abstract:

Las propiedades de las estrellas de neutrones están determinadas por la naturaleza de la materia que contienen. Estas propiedades pueden ser acotadas mediante medidas del tamaño de la estrella. Obtenemos restricciones rigurosas en los radios de las estrellas de neutrones combinando las observaciones multimensajero de la fusión binaria de estrellas de neutrones GW170817, con la teoría nuclear que mejor da cuenta de las incertidumbres dependientes de la densidad en la ecuación de estado.
Construimos ecuaciones de estado restringidas por la teoría del campo efectivo quiral y las delimitamos utilizando las observaciones de las ondas gravitacionales. Combinando esto con las observaciones electromagnéticas del remanente de fusión que implican la presencia de una estrella de neutrones hipermasiva de corta vida, encontramos que el radio de una estrella de neutrones de $1.4 \ M_{\sun}$ es $\boldsymbol{R_{1.4M_{\sun}}=11,0_{-0.6}^{+0,9} \ km}$ (intervalo creíble del 90 %).
Utilizando esta restricción, mostramos que es poco probable que las estrellas de neutrones se vean perturbadas en las fusiones de agujeros negros con estrellas de neutrones; por lo tanto, esos eventos no producirán una emisión electromagnética observable.

Me ha parecido Interesante: De este último párrafo se entiende que lo que dicen es que si un agujero negro (no muy pequeño) se fusiona con una estrella de neutrones, el agujero negro “se la traga” entera sin desgarrarla y sin dar tiempo a emisiones electromagnéticas.

Dicen en la página 8: Nuestras novedosas restricciones sobre R1.4 Masas solares implican que las estrellas de neutrones de ~1,4 Ms no pueden ser desgarradas en fusiones con agujeros negros no giratorios, a menos que la masa del agujero negro sea inusualmente baja (< 3,4 Ms). En términos más generales, nuestras limitaciones en los radios de las estrellas de neutrones serán útiles para predecir y probar las correlaciones entre las observaciones electromagnéticas y de ondas gravitacionales en el futuro.

Fuente: GW170817: Stringent constraints on neutron-star radii from multimessenger observations and nuclear theory

Por otro lado, en el post#15 del hilo nos hacíamos eco de la mayor masa posible de una estrella de neutrones para que no colapse a agujero negro:

¿Cuál es la masa máxima de una estrella de neutrones? ... 1.97 - 2.25 Masas Solares para la masa máxima de estrellas de neutrones sin rotación ...

Pues bien fruto de este último estudio de Campano et. al., dan como valor máximo en la página 35 del paper el de $2.10_{-0.17}^{+0.18} \ M_{\sun}$, muy de acuerdo con los estudios que explicábamos en el post#15.

Saludos.

[Alriga]

...El pulsar binario de Hulse-Taylor: La primera evidencia de la existencia de las ondas gravitacionales fue la observación de la disminución del período de traslación alrededor de su compañera del pulsar PSR B1913+16 estudiado por Hulse y Taylor. La pérdida de energía orbital por emisión de ondas gravitacionales hace que el periodo de traslación disminuya a un ritmo de 1 segundo cada 13 mil años, (76.5 microsegundos al año), en total acuerdo con los cálculos realizados a partir de la Relatividad General...

Científicos del Instituto Max Planck han utilizado el pulsar binario PSR J0737-3039 A/B descubierto en 2003, para repetir las observaciones de Hulse y Taylor por las que ambos recibieron el premio Nobel de Física de 1993.

Estudiamos un sistema de estrellas compactas que es un laboratorio inigualable para probar las teorías de la gravedad en presencia de campos gravitacionales muy fuertes . Para nuestro deleite, pudimos comprobar una piedra angular de la teoría de Einstein: la energía transportada por las ondas gravitacionales, con una precisión que es 25 veces mejor que con el púlsar Hulse-Taylor, ganador del Premio Nobel, y 1000 veces mejor de lo que es posible actualmente con los detectores directos de ondas gravitacionales (LIGO-Virgo-KAGRA). Las observaciones no solo están de acuerdo con la teoría General de la Relatividad, sino que también pudimos ver efectos que antes no se podían estudiar.

El púlsar doble PSR J0737-3039 A/B es una pareja en la que dos púlsares activos se orbitan entre sí en tan solo 147 minutos. El movimiento orbital de estas estrellas de neutrones de densidad extremadamente alta provoca una serie de efectos relativistas, incluida la generación de ondas en el espacio-tiempo. Estas ondas gravitacionales drenan energía del sistema, lo que hace que la órbita se encoja unos siete milímetros por día. La medición correspondiente concuerda con la predicción de la relatividad general con una precisión del 0.013 por ciento.

Animación del sistema de doble pulsar PSR J0737-3039 A/B y su línea de visión desde la Tierra. El sistema, que consta de dos púlsares de radio activos, está "de lado" visto desde la Tierra, lo que significa que la inclinación del plano orbital con respecto a nuestra línea de visión es de solo 0,6 grados.

Los investigadores también midieron, con una precisión de 1 parte en un millón, que la órbita cambia de orientación, un efecto relativista ya conocido desde la órbita de Mercurio, pero aquí es 140.000 veces más fuerte

Más información de divulgación en Einstein proven right yet again (Einstein demostró tener razón de nuevo) . El artículo científico se publicó anteayer en Physical Review X y el pre-print de arxiv es Strong-field Gravity Tests with the Double Pulsar.

Saludos.

ACTUALIZADO 17/12/2021. Veo que La Mula Francis comenta el tema: El púlsar binario PSR J0737 como banco de pruebas de la relatividad general

[Alriga]

...un equipo de científicos de la Universitat Politècnica de Catalunya y del Instituto Astrofísico de Canarias formado por Manuel Linares, Tariq Shahbaz y Jorge Casares han conseguido medir con buena precisión lo que sería un récord de estrella de neutrones masiva. El objeto PSR J2215+5135 es un par binario situado a 10.000 años luz de la Tierra formado por un Pulsar que efectúa una rotación cada 0.00261 segundos y por una estrella de $0.33_{-0.02}^{+0.03}$ masas solares que efectúa un giro en torno a la estrella de neutrones en 4.14 horas. Pues bien estudiando el movimiento de la compañera, los astrónomos han podido determinar que la masa del púlsar es de $\bold{2.27_{-0.15}^{+0.17} \ M_{\sun}}$ lo que constituye todo un récord entre las estrellas de neutrones cuya masa se ha medido con precisión....

... utilizando el Radiotelescopio de Green Bank, hemos medido la masa de MSP J0740 + 6620 en 2,14 +0,10 -0.09 Masas Solares (intervalo de confianza del 68,3%) 2,14 +0,20 -0.18 Masas Solares (intervalo de confianza del 95.4%)[B],,,

Detectada una estrella densa y colapsada que gira 707 veces por segundo, lo que la convierte en una de las estrellas de neutrones que giran más rápido en la galaxia de la Vía Láctea. Esta ha triturado y consumido casi toda la masa de su compañera estelar y, en el proceso, se ha convertido en la estrella de neutrones más pesada observada hasta la fecha.

Dice el abstract del estudio que se ha publicación ayer en The Astrophysical Journal Letters:

“Describimos la espectrofotometría del telescopio Keck y las imágenes de la compañera del púlsar "viuda negra" PSR~J0952-0607, la estrella de neutrones (NS) que gira más rápido que se conoce en el disco de la Vía Láctea. La compañera es muy débil en su brillo mínimo, lo que supone un reto de observación, pero hemos medido curvas de luz multicolor y hemos obtenido velocidades radiales en la mitad "diurna" iluminada de la órbita. Los ajustes del modelo indican una inclinación del sistema i=59,8±1,9º y una masa de púlsar $MNS=\bold{2,35} \pm 0,17M_{\sun}$, la mayor masa bien medida encontrada hasta la fecha”

La medición de la masa de la estrella de neutrones fue posible gracias a la extrema sensibilidad del telescopio Keck I de 10 metros. Usando el espectrómetro de imágenes de baja resolución (LRIS) del Observatorio Keck, el equipo pudo registrar un espectro de luz visible de la estrella compañera que brilla intensamente después de ser despojada de la mayor parte de su masa y reducida al tamaño de un gran planeta gaseoso. Las estrellas están a unos 3.000 años luz de la Tierra en dirección a la constelación Sextans.

Los astrónomos midieron la velocidad de una estrella tenue (círculo verde) que ha sido despojada de casi toda su masa por un compañero invisible, una estrella de neutrones púlsar de milisegundos, que determinaron que es el más masivo encontrado hasta ahora y quizás el límite superior para las estrellas de neutrones. Crédito de la imagen: Observatorio WM Keck, Roger W. Romani, Alex Filippenko.

Descubierto en 2017, PSR J0952-0607 se conoce como púlsar de "viuda negra", una analogía con la tendencia de las arañas viudas negras hembra de consumir al macho mucho más pequeño después del apareamiento. Los científicos han estado estudiando los sistemas de “viuda negra” durante más de una década, con la esperanza de establecer el límite superior de cuán grandes pueden crecer las estrellas de neutrones/púlsares.

Encontrar púlsares “viuda negra” en los que el compañero sea pequeño, pero no demasiado pequeño para detectarlo, es una de las pocas formas de “pesar” las estrellas de neutrones. En el caso de este sistema binario, la estrella compañera, que ahora tiene solo 20 veces la masa de Júpiter, está distorsionada por la masa de la estrella de neutrones y bloqueada por mareas, similar a la forma en que nuestra luna está bloqueada en órbita para que solo veamos un lado. El lado que mira hacia la estrella de neutrones se calienta a temperaturas de alrededor de 6.200 Kelvin, un poco más caliente que nuestro sol, y lo suficientemente brillante como para ser vista con un telescopio grande.

Los astrónomos dirigieron el telescopio Keck I hacia PSR J0952-0607 en seis ocasiones durante los últimos cuatro años, cada vez observando con LRIS en períodos de 15 minutos para capturar al compañero débil en puntos específicos en su órbita de 6,4 horas alrededor del púlsar. Al comparar los espectros con los de estrellas similares al Sol, pudieron medir la velocidad orbital de la estrella compañera y calcular la masa de la estrella de neutrones.

Una posible explicación para los púlsares de milisegundos aislados es que cada uno alguna vez tuvo un compañero que quedó reducido a nada: A medida que la estrella compañera evoluciona y comienza a convertirse en una gigante roja, el material se derrama hacia la estrella de neutrones y eso hace girar rápidamente a la estrella de neutrones. Al girar, ahora se vuelve increíblemente energética y un viento de partículas comienza a salir de la estrella de neutrones. Ese viento golpea la estrella donante que sigue desprendiendo material y, con el tiempo, la masa de la estrella donante disminuye a la de un planeta, y si pasa más tiempo, desaparece por completo. Entonces, así es como se podrían formar púlsares de milisegundos solitarios. Para empezar, no estaban solos, tenían que estar en un par binario, pero gradualmente evaporaron a sus compañeros, y ahora están solos. El púlsar PSR J0952-0607 y su tenue estrella compañera respaldan esta historia de origen de los púlsares de milisegundos.

Estudiar la estrellas de neutrones más masivas posibles es muy importante, ya que significa estudiar la materia más densa posible observable en nuestro universo, ya que los agujeros negros, aunque sean de densidad mayor, han desaparecido de nuestra observación, ocultos tras su horizonte de sucesos.

El pre-print de arxiv del estudio es: PSR J0952-0607: The Fastest and Heaviest Known Galactic Neutron Star

Saludos.

[Alriga]

¿Cuál es la masa máxima de una estrella de neutrones?

...¿cuál es la masa máxima para que una estrella de neutrones no colapse en un agujero negro? a esa masa se le llama Límite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff El problema es que el cálculo teórico de ese límite tiene incertidumbres mucho mayores que el límite de Chandrasekhar, debido a que las ecuaciones de estado para materia extremadamente densa no son bien conocidas, y el valor del límite no se ha podido precisar, pues los cálculos teóricos sólo conducen a que está situado entre 1.5 y 3 masas solares.

Pues bien, el estudio detallado del evento onda gravitacional GW170817 ha conducido a la publicación de 4 estudios de lo que hasta ahora es el mejor valor teórico de ese límite para estrellas de neutrones no rotantes:

* Using gravitational-wave observations and quasi-universal relations to constrain the maximum mass of neutron stars da un valor entre 1.97 y 2.19 masas solares.

* GW170817, General Relativistic Magnetohydrodynamic Simulations, and the Neutron Star Maximum Mass da un valor para el límite de 2.16 masas solares

* Constraining the Maximum Mass of Neutron Stars From Multi-Messenger Observations of GW170817 da un valor de 2.17 MS

* GW170817: Modeling based on numerical relativity and its implications da un valor entre 2.15 y 2.25 MS

El avance me parece notable, hemos pasado de tener un intervalo tan ancho como 1.5 - 3 MS ($\Delta =1.5 \ M_{\sun}$) a tener uno más estrecho de 1.97 - 2.25 Masas Solares ($\Delta =0.28 \ M_{\sun}$) para la masa máxima de estrellas de neutrones sin rotación...

He encontrado un nuevo estudio publicado el 29/02/2024 en "Physical Review D" en el que calculan que la masa máxima de una teórica estrella de neutrones no rotante debe ser de

$\bold{2.25}_{-0.07}^{+0.08} \, M_{\sun}$

El radio máximo de una estrella de neutrones no rotante lo calculan de

$\bold{11.90}_{-0.60}^{+0.63} \, km$

El preprint de arxiv del nuevo artículo es: Maximum gravitational mass MTOV=2.25+0.08−0.07M⊙ inferred at about 3% precision with multimessenger data of neutron stars

Recordad que la estrella de neutrones más masiva observada hasta ahora en nuestra galaxia, que es también la que tiene rotación más rápida entre las estrellas de neutrones conocidas de la galaxia, es el pulsar PSR~J0952-0607 descrito en el anterior post#33, que tiene una masa de

$\bold{2,35} \pm 0,17M_{\sun}$

Saludos.

[carroza]

Gracias, Alriga.

Entiendo que el límite de masa máxima de una estrella de neutrones sin rotar corresponde a que la presión debida al gas de fermi de neutrones compensa la atracción gravitatoria.

Entiendo que en la naturaleza las estrellas ne neutrones que se forman conservan el momento angular de la nube que las formó, por lo que deben rotar muy rápido. El efecto centrífugo de la rotación debe ayudar a la presión del gas de fermi, a la hora de vencer la atracción gravitatoria, con lo que sería esperable que los limites de masa de las estrellas de neutrones rotantes sean muy superiores al limite sin rotación.

Estoy muy descaminado?

Un saludo

[Alriga]

...Entiendo que el límite de masa máxima de una estrella de neutrones sin rotar corresponde a que la presión debida al gas de Fermi de neutrones compensa la atracción gravitatoria.
Entiendo que en la naturaleza las estrellas de neutrones que se forman conservan el momento angular de la nube que las formó, por lo que deben rotar muy rápido. El efecto centrífugo de la rotación debe ayudar a la presión del gas de Fermi, a la hora de vencer la atracción gravitatoria, con lo que sería esperable que los límites de masa de las estrellas de neutrones rotantes sean ¿muy? superiores al límite sin rotación.

¿Estoy muy descaminado?...

Gracias por comentar. No creo que vayas desencaminado, yo he entendido lo mismo que tú. Lo que no sé contestar es si el límite de masa de las estrellas de neutrones (EN) rotantes es “muy superior” o solo “algo superior” al de las estrellas no rotantes. No he encontrado bibliografía al respecto.

A partir de los datos $M_1=2.25_{-0.07}^{+0.08} \, M_{\sun}$ y $R_1=11.90_{-0.60}^{+0.63} \, km$ se me ocurre hacer una muy grosera “estimación de Fermi” para calcular un límite superior "basto" a la masa en el caso de estrella rotante.

Uso Mecánica Newtoniana. El campo gravitacional en el ecuador de la EN no rotante de masa máxima es:

$g_1=\dfrac{GM_1}{R_1^2}$

Una EN rotante a velocidad angular $\omega$ tendrá un campo gravitacional en el ecuador

$g_2=\dfrac{GM_2}{R_2^2}-\omega^2 R_2$

Como estimación para calcular una cota máxima grosera de $M_2$ (que será seguro superior a la cota real) hacemos $g_1 \approx g_2$ y que la densidad es la misma para ambas estrellas $\rho_1\simeq \rho_2 \simeq \rho$

$\rho =\dfrac{M_1}{\dfrac 4 3 \pi R_1^3}$

$M_2= \rho \dfrac 4 3 \pi R_2^3$

Al igualar los campos:

$g_1 \approx g_2 \quad \longrightarrow \quad \dfrac{GM_1}{R_1^2}=G \dfrac 4 3 \pi \rho R_2-\omega^2 R_2$

Despejamos:

$$R_2=\dfrac{G M_1}{R_1^2 \left ( \dfrac 4 3 \pi G \rho - \omega^2 \right )}$$

$$M_2= \rho \dfrac 4 3 \pi R_2^3$$

Hago los cálculos con los valores:

$G=6.6743\cdot 10^{-11}$ S.I.

$M_{\sun}=2\cdot 10^{30}$ kg

$M_1=2.25 M_{\sun}$

$R_1=11900$ m

Si hago el cálculo para $\omega = \dfrac{2\pi}{0.00261} \, rad/s$ obtengo

$M_2=2.48 \, M_{\sun}$

Una estrella real que de 1 giro cada 0.00261 segundos debería tener seguro una masa menor que la calculada:

...El objeto PSR J2215+5135 es un par binario situado a 10.000 años luz de la Tierra formado por un Pulsar que efectúa una rotación cada 0.00261 segundos y por una estrella de $0.33_{-0.02}^{+0.03}$ masas solares que efectúa un giro en torno a la estrella de neutrones en 4.14 horas. Pues bien estudiando el movimiento de la compañera, los astrónomos han podido determinar que la masa del púlsar es de $\bold{2.27_{-0.15}^{+0.17} \ M_{\sun}}$

Si hago el cálculo para $\omega = (707\cdot 2\cdot \pi) \, rad/s$ obtengo

$M_2=3.20 \, M_{\sun}$

Una estrella real que rote 707 veces por segundo debería tener seguro una masa menor que la calculada:

…Detectada una estrella densa y colapsada que gira 707 veces por segundo ... Describimos la espectrofotometría del telescopio Keck y las imágenes de la compañera del púlsar "viuda negra" PSR~J0952-0607, la estrella de neutrones (NS) que gira más rápido que se conoce en el disco de la Vía Láctea. La compañera es muy débil en su brillo mínimo, lo que supone un reto de observación, pero hemos medido curvas de luz multicolor y hemos obtenido velocidades radiales en la mitad "diurna" iluminada de la órbita. Los ajustes del modelo indican una inclinación del sistema i=59,8±1,9º y una masa de púlsar $MNS=\bold{2,35} \pm 0,17M_{\sun}$...

No sé si hay alguna otra forma sencilla de acotar de forma menos grosera la masa máxima de una estrella de neutrones rotante.

Saludos.

[Alriga]

...No sé si hay alguna otra forma sencilla de acotar de forma menos grosera la masa máxima de una estrella de neutrones rotante...

Se me ha ocurrido un método de cálculo que entiendo que debería ser más preciso que el del post anterior. Si $R_1$ es el radio polar y $R_2$ el radio ecuatorial de una estrella de neutrones (EN) se define el achatamiento polar como el ratio:

$$e=\dfrac{R_2-R_1}R$$

En donde R es el radio medio

$$R=\dfrac{R_1+R_2}2$$

Obtenemos la densidad de los valores de la masa máxima y el radio de una EN no rotante, como hicimos en el post anterior:

$$\rho =\dfrac{M_1}{\dfrac 4 3 \pi R_1^3}$$

La estrella de neutrones rotante tiene el mismo radio polar $R_1$ que la EN no rotante de masa máxima, y un radio ecuatorial $R_2>R_1$. Suponemos que la densidad es la misma para la EN en rotación. El volumen de la estrella de neutrones rotante es el de un elipsoide de revolución, por lo tanto la masa de la EN rotante es:

$$M_2= \rho \dfrac 4 3 \pi R_1 R_2^2$$

Según el artículo de Subrahmanyan Chandrasekhar de título “Ellipsoidal Figures of Equilibrium-An historical account” publicado en 1967 en la revista Communications on Pure and Applied Mathematics, se cumple que cuando hay equilibrio gravitacional en un cuerpo rotante, el achatamiento se puede calcular mediante:

$$e=k\, \dfrac{\omega^2 R^3}{G M_2}$$

En donde $k$ es una constante y $M_2$ la masa del objeto en rotación. Dice Chandrasekhar en esa publicación que para estrellas homogéneas en rotación lenta $k=5/4$ y que para otros modelos estelares, se debe usar la constante apropiada. Para una estrella de neutrones en rotación, una estimación inicial de ecuación de estado de tipo politrópico

$p=\kappa \rho^{(n+1)/n}$ con $n=1$ tiene asociado el valor $k=0.76$

Combinando las expresiones (1), (2), (3), (4) y (5) obtenemos:

$\dfrac{R_2-R_1}{\dfrac{R_1+R_2}2}=k \, \dfrac{\omega^2 \left (\dfrac{R_1+R_2}2 \right )^3}{G \dfrac 4 3 \pi \rho R_1 R_2^2}$

Operando:

$$\boxed{R_2-R_1 - k \, \dfrac{3\omega^2 (R_1+R_2)^4}{64 \pi \rho G R_1 R_2^2}=0}$$

Se puede seguir operando para obtener una ecuación polinómica de 4º grado en la incógnita $R_2$ o resolver directamente esta última ecuación del recuadro mediante métodos numéricos.

Finalmente:

$$\boxed{M_2= \rho \dfrac 4 3 \pi R_1 R_2^2}$$

Hago los cálculos con los valores:

$G=6.6743\cdot 10^{-11}$ S.I.

$M_{\sun}=2\cdot 10^{30}$ kg

$M_1=2.25 M_{\sun}$

$R_1=11900$ m

$\rho = 6.3750\cdot 10^{17} \ kg/m^3$

$k=0.76$

Si hago el cálculo para $\omega = \dfrac{2\pi}{0.00261} \, rad/s$ obtengo

$$M_2=\bold{2.36} \, M_{\sun}$$

...El objeto PSR J2215+5135 es un par binario situado a 10.000 años luz de la Tierra formado por un Pulsar que efectúa una rotación cada 0.00261 segundos y por una estrella de $0.33_{-0.02}^{+0.03}$ masas solares que efectúa un giro en torno a la estrella de neutrones en 4.14 horas. Pues bien estudiando el movimiento de la compañera, los astrónomos han podido determinar que la masa del púlsar es de $\bold{2.27_{-0.15}^{+0.17} \ M_{\sun}}$

Y si hago el cálculo para $\omega = (707\cdot 2\cdot \pi) \, rad/s$ obtengo

$$M_2=\bold{2.65} \, M_{\sun}$$

…Detectada una estrella densa y colapsada que gira 707 veces por segundo ... Describimos la espectrofotometría del telescopio Keck y las imágenes de la compañera del púlsar "viuda negra" PSR~J0952-0607, la estrella de neutrones (NS) que gira más rápido que se conoce en el disco de la Vía Láctea. La compañera es muy débil en su brillo mínimo, lo que supone un reto de observación, pero hemos medido curvas de luz multicolor y hemos obtenido velocidades radiales en la mitad "diurna" iluminada de la órbita. Los ajustes del modelo indican una inclinación del sistema i=59,8±1,9º y una masa de púlsar $MNS=\bold{2,35} \pm 0,17M_{\sun}$...

Estas estimaciones parecen mucho mejores que las del post anterior.

Saludos.

[carroza]

Gracias Alriga. Muy interesante y currado. Un comentario: Entiendo que la derivación de la eq, 5 debe implicar que la deformación $\epsilon$ debe ser pequeña. No me imagino que los argumentos sean validos si $R_2 = 2 R_1$. Si ese es el caso, podria otenerse $\epsilon$ sin recurrir a expresiones cuárticas.

Por otro lado, parece interesante la expresión de la constante $k$ en función de las características del fluido. Seguro que hay física interesante que hace que $k=1.25$ en un caso y $k = 0.76$ en otro.

Un saludo, y gracias de nuevo por el post.

[Alriga]

...Entiendo que la derivación de la eq, 5 debe implicar que la deformación $\epsilon$ debe ser pequeña...

Para el ejemplo del pulsar PSR~J0952-0607 que gira 707 veces por segundo y que es el de rotación más rápida conocida en nuestra galaxia, el valor del achatamiento sale $e=0.081$

Si en la ecuación a resolver:

$R_2-R_1 - k \, \dfrac{3\omega^2 (R_1+R_2)^4}{64 \pi \rho G R_1 R_2^2}=0$

Se sustituye el valor de la densidad:

$\rho =\dfrac{M_1}{\dfrac 4 3 \pi R_1^3}$

La nueva ecuación a resolver mediante métodos numéricos para obtener $R_2$ queda:

$$\boxed{R_2-R_1 - k \, \dfrac{\omega^2 R_1^2 (R_1+R_2)^4}{16 G M_1 R_2^2}=0}$$

Saludos.