Otras carreras Variación de funcionales y su enseñanza

[alexpglez]

Querría comentaros unas pequeñas cosas que no me han parecido muy didácticas acerca de la variación de funcionales.

En primer lugar, comentaros que estoy haciendo matemáticas y por tanto tengo un punto de vista más matemático que físico, aunque no he dado cálculo variacional todavía en asignaturas de matemáticas y por tanto desconozco como lo dan los profesores de matemáticas (si bien a esto puedo responder dentro de poco cuando demos algunas nociones del cálculo...). Conozco como se da, por verlo en libros como el de Goldstein y el de Landau y por estar cursando una optativa de física. También he leído algunos sencillos apuntes más matemáticos en donde definen formalmente la variación de un funcional, por tanto conozco la definición.

Un funcional es una cierta función $S : E \longrightarrow \mathbb R$, donde $E$ es un cierto espacio de funciones. Si el espacio de funciones es un espacio afín cuyo espacio vectorial es normado, entonces uno puede definir límite y continuidad en S respectivamente:

$$\lim_{f \to g}S[f]=L \;\; \leftrightarrow \;\; \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 \forall f \in E-\{g\} \; \vert \vert f-g \vert \vert < \delta \rightarrow \vert S[f] -L \vert < \epsilon$$

$$\forall g \in E \;\; \lim_{f \to g} S[f]=S[g]$$

Análogamente a la diferencial de una función R^n a R como la única función lineal que cumple:

$$\lim_{v \to 0} \frac{f(x+v)-f(x)-df_x(v)}{\vert \vert v \vert \vert}$$

Definimos la variación de S como el único funcional lineal de $\vec E$ a $\mathbb R$ que cumple:

$$\lim_{h \to 0} \frac{S[f+h]-S[f]-\delta S_f[h]}{\vert \vert h \vert \vert}$$

Cuya unicidad, al igual que en el caso de funciones se prueba notando que:

$$\delta S_f[h]=\lim_{\lambda \to 0} \frac{S[f+\lambda h]-S[f]}{\lambda}$$

Por ejemplo, sea $E$ un espacio de funciones de un subconjunto de R en R, vamos a calcular las variaciones de algunos funcionales aplicando (*):

$$S: E \longrightarrow R\;\;\; f \mapsto f(c)$$

$$\delta S_f[h]=h(c)$$

Y suponiendo la diferenciabilidad y/o continuidad de las derivadas cuando sea necesario en las funciones que aparecen y en E:

$$S: E \longrightarrow R \;\;\; f \mapsto f'(c)$$

$$\delta S_f[h]=h'(c)$$

$$S: E \longrightarrow R\;\;\; f \mapsto L(f(c),f'(c),c)$$

$$\delta S_f[h]=\frac{\partial L}{\partial f}(f(c),f'(c),c)h(c)+\frac{\partial L}{\partial f'}(f(c),f'(c),c)h'(c)$$

$$S:E \longrightarrow R\;\;\; f \mapsto \int_a^b dx L(f(x),f'(x),x)$$

$$\delta S_f[h]=\int_a^b dx h(x)(\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}) +\frac{\partial L}{\partial f'}h(x)\vert_a^b$$

Podemos a su vez denotar el nombre del funcional igual que el de la función, y así:

$$\delta f(x)=h(x)$$

$$\delta f'(x)=h'(x)=\frac{d}{dx}\delta f(x)$$

$$\delta L=\frac{\partial L}{\partial f}\delta f(x)+\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f'(x)$$

$$\delta \int_a^b dx L(f(x),f'(x),x) =\int_a^b dx \delta f(x)(\frac{\partial L}{\partial f}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'}) +\frac{\partial L}{\partial f'}\delta f(x)\vert_a^b$$

De esta manera, veo mucho más sencillo explicar qué es la variación de una "función" (entendiendo el funcional del caso 1), de su "derivada" (2), de una función dependiente de f, f' y x (3), o de una integral cuyo valor depende de f (4).
Veo mucho más sencillo que la propuesta de definir variación como "cambio muy pequeño que se le da a f", para luego "derivar" las reglas 2, 3 y 4 diciendo que como la variación es muy pequeña, consideramos una aproximación lineal. O lo que creo que no es mucho mejor, que es dar una derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de Hamilton por el truco de definir $q(\epsilon,t)^*=q(t)+\epsilon h(t)$ y así considerar la función $S(\epsilon)$ y después definir $\delta q(t)=\frac{\partial q^*}{\partial \epsilon}\vert_0 d\epsilon$, $\delta S=\frac{\partial S}{\partial \epsilon}\vert_0 d\epsilon$ de forma que no se sabe muy bien que es la variación de un funcional aunque si se tenga una ligera idea de cómo calcularlo.
Por ejemplo en mi caso, desde que empecé el Goldstein, no entendía muy bien la idea de la variación de un funcional hasta hace poco que he leído un poco de la matemática de detrás.

¿Qué opináis vosotros?

Saludos