1r ciclo Concentración intrínseca de un semiconductor intrínseco

[Metaleer]

Hola.

En la física del estado sólido de semiconductores intrínsecos, aparece una expresión de la concentración de portadores intrínseca que es función de la temperatura. En un libro que tengo de Electrónica, dan para el silicio la siguiente expresión:

$$n_i(T) = 3,88 \cdot 10^{16} T^{3/2} \exp \left(-\frac{6957}{T} \right)~\text{cm}^{-3}$$

Mi pregunta es, si esta función es válida para todo el rango de temperaturas, o si es una fórmula empírica, cuyos parámetros han sido ajustados para que se parezca a la curva que sale en el experimento y que sólo es válida para un determinado rango de temperaturas.

Por otra parte, esta fórmula sólo es válida para el silicio; el libro dice que para otros semiconductores intrínsecos, como el germanio y el arseniuro de galio, existen expresiones similares con constantes diferentes. ¿Conocéis alguna referencia donde vengan recogidas estas expresiones, o por lo menos, distintas constantes para ir construyendo las expresiones correspondientes?

Saludos.

[aLFRe]

Re: Concentración intrínseca de un semiconductor intrínseco

En la física del estado sólido de semiconductores intrínsecos, aparece una expresión de la concentración de portadores intrínseca que es función de la temperatura. En un libro que tengo de Electrónica, dan para el silicio la siguiente expresión:

$$n_i(T) = 3,88 \cdot 10^{16} T^{3/2} \exp \left(-\frac{6957}{T} \right)~\text{cm}^{-3}$$

Mi pregunta es, si esta función es válida para todo el rango de temperaturas, o si es una fórmula empírica, cuyos parámetros han sido ajustados para que se parezca a la curva que sale en el experimento y que sólo es válida para un determinado rango de temperaturas.

Por otra parte, esta fórmula sólo es válida para el silicio; el libro dice que para otros semiconductores intrínsecos, como el germanio y el arseniuro de galio, existen expresiones similares con constantes diferentes. ¿Conocéis alguna referencia donde vengan recogidas estas expresiones, o por lo menos, distintas constantes para ir construyendo las expresiones correspondientes?

La fórmula no es empírica.

En general la concentración de electrones de conducción n viene dada por
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y la de huecos, p
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde f(E) es la probabilidad de ocupación de un nivel energético
que como ambos son fermiones vendría dada por la Estadística de Fermi-Dirac
y D(E) la densidad de niveles, que también se puede deducir
por ejemplo haciendo la aproximación de una partícula cuántica en un pozo de potencial de paredes infinitas
y construyendo después la esfera de Fermi.

Para los primeros, la densidad de niveles depende de la raiz cuadrada de ( E-E_c)
e incopora un factor donde aparece - entre otras cosas - la masa efectiva del electrón de conducción
Para los segundos depende de la raiz cuadrada de (E_c-E)
e incorpora con un factor donde aparece - entre otras cosas - la masa efectiva del hueco

La distribución de Fermi también hay que aproximarla por una exponencial.
Realmente lo que haces es considerar el caso no degenerado y usar la distribución de Maxwell-Boltzmann ( sic. )

[aLFRe]

Re: Concentración intrínseca de un semiconductor intrínseco

Si alguien puede recuperar el anterior post le quedaría muy agradecido.
Lo borré porque pensé que no iba a ningún lado.
Si no puede ser pues ya lo redacto todo entero otro año.

Haciendo las integrales antes puestas y con la aproximación para la estadística de Fermi-Dirac dicha
te viene a salir :
$n=N_c\exp ( -\frac{E_c-E_f}{k_bT})$ para la concentración de electrones de conducción
$p=N_v\exp ( -\frac{E_f-E_v}{k_bT})$ para la concentración de huecos

Para el semiconductor intrínseco $n=p = n_i$
por lo cual
$n_i^2=N_cN_v\exp ( -\frac{E_{g0}}{k_bT})$
esa energía del gap - ancho de la banda prohibida era a 0 K puesto que varía con la temperatura.

En los factores N_c y N_v
hay una dependencia de la temperatura ( 3/2 )
y de la masa efectiva del electrón de conducción para N_c
o del hueco para N_v

Venía a salir algo así como
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde ojo! ahora creo que m_e y m_h son el cociente entre las masas efectivas y la masa 'real' del electrón
( no lo recuerdo muy bién tendría que mirarlo )

Lo que está tabulado son las masas efectivas
pero debería de poderse calcular
puesto que
$m^*=h^2\frac{d^2\,k}{d\,E^2}$
siempre que se tenga la relación de dispersión $E=E(\vec{k})$
lo cual supongo que no será fácil

Todo esto salvo error.
Saludos.

AÑADIDO :
Lo que te explican siempre en clase para una partícula no relativista en ausencia de potencial:
$E=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2\,k^2}{2m}$
$\frac{d^2\,E}{d\,k^2}=\frac{2\hbar^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{m}$
y la masa reducida coincide con al 'real'
Saludos de nuevo.

AÑADIDO (2):
Logicamente en el párrafo de arriba lo de masa reducida es un error.
El término es masa efectiva.
En cualquier otro sitio en que aparezca lo de masa reducida en este post... es porque he vuelto a equivocarme.

[aLFRe]

Re: Concentración intrínseca de un semiconductor intrínseco

Es muy posible que la anterior fórmula para $n^2_i$
no incorpore la dependencia del ancho de la banda prohibida con la temperatura
porque no recuerdo que esto se tuviese en cuenta para hacer la deducción.

Esta dependencia es de la forma
$E_g=E_{g0}-\frac{\alpha\,T^2}{T+\beta}$
con $\alpha$ y $\beta$ ajustables 'pa que sarga lo que tenga que salí'.
No... no sé si esta última hay que considerarla o es despreciable frente a la otra
y no sé como se puede deducir.

Saludos ( bis ) y FeLiZ HaLLoWeeN a todos.

[aLFRe]

Re: Concentración intrínseca de un semiconductor intrínseco

puesto que
$m^*=h^2\frac{d^2\,k}{d\,E^2}$

Está mal:
$\frac{1}{m^*}=\frac{1}{\hbar^2} \frac{d^2\,E}{d\,k^2}$

Esa derivada - ojo creo recordar que se hacía así - requería que se pudiese aproximar la relación de dispersión
por una parábola y se evaluaba en el mínimo.

Saludos.

[Metaleer]

Re: Concentración intrínseca de un semiconductor intrínseco

Muchísimas gracias, aLFRe, tus respuestas han sido de ayuda.

¿Conoces alguna referencia donde puedo mirarme con más detalle estas cosas?

Saludos.

[aLFRe]

Re: Concentración intrínseca de un semiconductor intrínseco

¿Conoces alguna referencia donde puedo mirarme con más detalle estas cosas?

Yo lo he sacado de varios sitios
porque aunque se da principalmente en Física del Estado Sólido,
pues también aparece en Física Estadística ( la de 4º ) donde se estudian las distribuciones de Fermi-Dirac
y al principio de Electrónica, porque se habla de semiconductores.

Para entender bién, con matemáticas, lo de la densidad de niveles
uno de los apéndices de Mecánica Estadística de Brey, Rubia Pacheco y Rubia Sánchez
de Editorial UNED.
Puedes usarlo para la distribución de Fermi-Dirac.

Si no te gusta, lo de la esfera de Fermi lo puedes pillar de cualquier libro de cuántica.

Lo que he contado en el hilo procede principalmente de "Dispositivos Y Circuitos Electronicos" de Millman-Halkias.
Este libro tiene un problema y es que es un poco antiguo.
De Física del Estado Sólido tengo en casa dos... luego el resto supongo que lo habré sacado de ahí :
uno es el de Pavlov - creo - y otro es el de Kittel.
De alguno de los dos.

Mejor miralo en la biblioteca... porque ya te digo... yo recuerdo haberlo sacado de varios libros.
Y lo de siempre... no des por válidas las fórmulas que pongo aquí sin buscarlas en algún texto
porque seguramente están mal.