Otras carreras Densidad de estados

[Enzo]

Hola nuevamente. Tengo una duda sobre este tema:

La densidad de estados ( g(E) ó D(E) ) en metales, no estoy seguro si es una función que toma diferentes valores para cada valor de la energía ( "E" ) o solo toma un valor cuando la energía es la energía de Fermi.

Tengo:

$g(E)=\frac{V}{2\pi^2}(\frac{2m}{\hslash^2})^{\frac{3}{2}}<br /> E^{\frac{1}{2}}$

A parte de esta tengo mas dudas sobre estos temas. Los voy a ir poniendo en estos días. Espero que no sea molestia.

Gracias por la ayuda

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados

toma todos los valores de energia que van de cero a la energia de Fermi, lo cual incluye todos los estados degenerados de cada micro-estate.

[Enzo]

Re: Densidad de estados

Eso quiere decir que tengo que integrar???

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados

si, eso quiere decir que tienes que integrar.

[carroza]

Re: Densidad de estados

La densidad de estados es una funcion que toma valores para cualquier valor de la energia.

Su significado es que D(E)dE es el n'umero de estados cu'anticos que existen, para el electron, entre energia E y E+dE

La integral de la densidad de estados entre cero y la energ'ia de Fermi es igual al numero de electrones que uno tiene en un gas de Fermi degenerado, a temperatura nula.

La idea es que si uno tiene N electrones, y la temperatura es cero, entonces esos electrones ocuparan los nivieles de energia con las energias mas bajas que les permite el principio de Pauli, y asi ocuparan niveles hasta llegar a la energia de Fermi.

[Enzo]

Re: Densidad de estados

Pero si tengo que integrar.....
-Voy a poner una pregunta de mi examen-

" En un metal en el que la concentración de electrones libres es $10^{28}m^{-3}$ , determine el número de electrones que hay por unidad de volumen con energías entre $0,9999E_F$ y $1,0001E_F$ a la temperatura de 350K. "

Yo conocía la fórmula:

$n=\int f(E).g(E) dE$ con: $f(E)=\frac{1}{e^{ \frac{E-E_F}{K_BT}}+1}$

Y con g(E) igual a la que puse en mi primer mensaje.

Entonces, si para hallar g(E) tengo que integrar ¿como hago este problema?

Yo aplique directamente la fórmula con la "E" de g(E) y f(E) como variable y luego integre desde 0,9999Ef hasta 1,0001Ef -previamente hallando la energía de Fermi (Ef)-

Me explican????

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados

En el post anterior tienes que integrar con ayuda de g(E) y eso es a lo que me referia. No a integrar g(E).

[carroza]

Re: Densidad de estados

Pero si tengo que integrar.....
-Voy a poner una pregunta de mi examen-

" En un metal en el que la concentración de electrones libres es $10^{28}m^{-3}$ , determine el número de electrones que hay por unidad de volumen con energías entre $0,9999E_F$ y $1,0001E_F$ a la temperatura de 350K. "

Yo conocía la fórmula:

$n=\int f(E).g(E) dE$ con: $f(E)=\frac{1}{e^{ \frac{E-E_F}{K_BT}}+1}$

Y con g(E) igual a la que puse en mi primer mensaje.

Entonces, si para hallar g(E) tengo que integrar ¿como hago este problema?

Yo aplique directamente la fórmula con la "E" de g(E) y f(E) como variable y luego integre desde 0,9999Ef hasta 1,0001Ef -previamente hallando la energía de Fermi (Ef)-

Me explican????

Te explico:

1) Obten la energia de fermi a partir de la densidad de electrones (tiene una formula compacta, a partir de la concentracion de electrones que puedes mirar en tus apuntes, o deducirla integrando entre 0 y E_f la densidad de estados e igualando al numero de electrones).

2) Integra la expresion int g(E) f(E) dE entre 0.9999 E_f y 1.0001 E_f, o bien aproximala como g(E_f) int f(E) dE
(g(E) varia muy poco en el intervalo considerado).

[Enzo]

Re: Densidad de estados

Ok, a eso iba desde el inicio de mi pregunta.

Osea que puedo "sacar" a g(E) de la integral haciendola igual a $g(E_F)$ ?. Esa es la duda que tenía pues yo resolví el problema evaluando la integral con g(E) como función de "E" y esta integral no esta muy fácil. Luego en un libro vi que g(E) tenia un valor constante (en otro tipo de problema).

Entonces, la respuesta que obtuve no difiere si hago $g(E) = g(E_F)$ ?

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados

Ya carroza te dio la idea.

Entre esas energias tienes que considerar $\epsilon \sim \epsilon_f$ para este problema =>

$f(\epsilon) \sim f(\epsilon_f) = \frac{1}{2}$ y $g(\epsilon)= g(\epsilon_f)$

=> de esa integral obtendras $n = \frac{g(\epsilon_f)}{2} 2 \times 10^{-4} \epsilon_f$

now, you need find $\epsilon_f$ as function of T y N maybe?

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados

De el post anterior se tiene que calcular:

$\frac{n}{V} = \frac{g(\epsilon_f)}{V} \epsilon_f 10^{-4}$ ...(1) =>

$N= \int_{\epsilon_f}^{+ \infty} f(\epsilon) g(\epsilon) d\epsilon$ para energias mayores que fermi's energy ($\epsilon_f < \epsilon$) de donde los electrones estan "libres" =>

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] por que la funcion $f(\epsilon)$ domina a $g(\epsilon)$ en el intervalo $[\epsilon_f , +\infty)$ =>

$N \sim g(\epsilon_f) \int_{\epsilon_f}^{+\infty} e^-\frac{(\epsilon - \epsilon_f)}{k T} d \epsilon$ por que "fermi's distribution" es paresida a la de Boltzmann's para valores grandes de $\epsilon$. =>

$N \sim k T g(\epsilon_f)$ $\'o$ $\frac{N}{V}= \frac{k T g(\epsilon_f)}{V} = 10^{28} m^{-3}$. =>

$\frac{g(\epsilon_f)}{V} = \frac{10^{28}}{k T}$ ...(2)

del primer post $g(\epsilon_f) = \frac{V}{2 \pi^2} (\frac{2m}{\hbar^2})^\frac{3}{2} \epsilon_f^\frac{1}{2}$ $\'o$ $(\frac{g(\epsilon_f)}{V})^2 = \frac{1}{4\pi^4} (\frac{2m}{\hbar^2})^3 \epsilon_f$ ...(3)

de (2) y (3) se obtiene (1)

de cualquier manera $\epsilon$ esta tomando valores de $\epsilon = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m L^2} \to \epsilon_f = \frac{n_{max}^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2}$ para 0 kelvin; pero como se tiene atomos a nivel de el # de avogrado y estados degenerados para muchos de ellos. Entonces, se evalua con una integral que tenga la densidad de ellos. En cuanto se le aplica energia a este sistema la densidad cambia un poco obedeciendo a la distribucion de fermi. Creo que eso lo puedes ver en las graficas que tengas de tus libros.

Nota: en este problema en particular se utilizaron muchas aproximaciones.

[Enzo]

Re: Densidad de estados

Ok, gracias por la ayuda pero la integral que has calculado es para energía mayores a la de Fermi.
Entonces, que pasa con la pregunta que pedia energías entre 0,9999Ef y 1,0001Ef ???
Para ese intervalo tambien puedo hacer esas aproximaciones????

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados

ve el post # 10