Otras carreras Densidad de estados en 2 dimensiones

[Enzo]

Tengo el siguiente problema:

" Deducir para el caso de una sustancia bidimensional la función densidad de estados g(E) mostrando que es independiente de la energía de los electrones libres. Tome en cuenta en su modelo un cristal cuadrado de lado 'L', la masa del electrón 'm' y no se olvide de considerar el principio de Pauli. "

Lo que necesito saber es si la respuesta que obtuve es correcta (tal ves alguien conozca dicha fórmula y pueda corroborar mi respuesta).
Yo obtuve:

$g(E)=\frac{4mL^2}{\pi \hslash^2}$

Yo parti de: $E=\frac{\hslash^2 k^2}{2m}$

Usando en el espacio recíproco "k" un área circular.

Gracias por la ayuda.

FIEE-UNI

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

a mi la respuesta me da: $\frac{m L^2}{\pi \hbar^2}$ , lo que es un $\frac{1}{4}$ de lo que tu estas calculando; pero de cualquier forma no estoy seguro.

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

Ademas queria decir, que para el caso de una dimension no tiene sentido utilizar las integrales puesto que no existen energias degeradas en los estados =>

$U = 2\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} (1 + 2^2 + 3^2+ ... + n_{max}^2) = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} ( \frac{n_{max}(n_{max}+1)(2n_{max} + 1)}{3})$

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

En dos dimensiones:

$U = 2 \int_0^{\epsilon_f} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \epsilon (n) dn d \phi = \pi \int_0^{\epsilon_f} \epsilon (n) dn$

$n = \sqrt{\epsilon} \frac{\sqrt{2mL^2}}{\pi \hbar}$ y $dn = \frac{\sqrt{2mL^2}}{\pi \hbar} \frac{d\epsilon}{2\sqrt{\epsilon}}$

$U= \int_0^{\epsilon_f} \epsilon ( \frac{mL^2}{\pi \hbar^2}) d\epsilon$

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

Ademas queria decir, que para el caso de una dimension no tiene sentido utilizar las integrales puesto que no existen energias degeradas en los estados =>

$U = 2\frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} (1 + 2^2 + 3^2+ ... + n_{max}^2) = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} ( \frac{n_{max}(n_{max}+1)(2n_{max} + 1)}{3})$

queria decir estados degenerados con sus respectivas energias.

[Enzo]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

Pero lo estas solucionando de una manera diferente.
Ni siquiera se como lo estas haciendo.

Yo utilizo la ec de Schrodinger como en el caso de un pozo tridimensional para hallar "k" pues como la solucion es funcion de senos y cosenos 'k' debe ser: $k_i=\frac{n_i\pi}{L}$ donde 'L' es el ancho del pozo (en este caso el lado de la celda).

luego: $k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2$ lo que hace una esfera en el espacio 'k'. Entonces para dos dimensiones hice:

$k^2=k_x^2+k_y^2$

Además como en el espacio 'k' tendríamos un celda de lado $\frac{\pi}{L}$ tenemos $\frac{L^2}{\pi ^2}$ estados por unidad de área.

Luego como en el espacio 'k' se tiene un círculo el área es: $\pi R^2$ donde $R^2=k^2$

Pero: $k^2=\frac{E.2m}{\hslash ^2}$

Entonces el número de estados con energía menor que 'E' sera: $N=2(\pi \frac{2mE}{\hslash ^2})(\frac{L^2}{\pi ^2})$

El '2' es por el principio de Pauli.

Y finalmente por definición: $g(E)=\frac{dN}{dE}$
Derivando:

$g(E)=\frac{4mL^2}{\hslash ^2 \pi}$

Eso es lo que hice yo.
Esta mal???

Gracias por la ayuda.

[Jose D. Escobedo]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

Si, estas mal.

Lo que mencionas de la equation de Shr$\ddot o$dinger estaba implicito por lo que no era necesario mencionarlo.

Una vez que se obtienen las energias para el caso de 2D de "una caja cuadrada" $E = \frac{\pi^2 \hbar^2}{2mL^2} ( n_x^2 + n_y^2)$, la pregunta ahora es: cuales son los valores que toman $n_x$ y $n_y$?, acaso se toman valores negativos?, y si se toman valores positivos para ambos, en que cuadrante de el plano or "espacio $n_x$ y $n_y$" pasa esto? piensa un poco en estas preguntas y llegaras a la conclucion de tu error.

[Dramey]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

Muy interesante el hilo!

Jose D. Escobedo está en lo cierto. Y como a mi me gusta lo experimental decir que esto no es solo una cosa teórica. Este modelo se aplica cuando tienes una lámina metálica de unos pocos nm de espesor entre dos aislantes.

[Enzo]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

Yo me basé en una deducción que vi en el libro de mi profe. Lo hacía para 3 dimensiones.
Voy a revisar el libro y pongo los detalles a ver que sale

[PBG]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

La densidad de estados en 2D es: m/(hbarra^2 * pi), o, dependiendo de cómo la definas, lo mismo pero multiplicado por L^2. Ese es el resultado correcto.
En 1D: sqrt(m/2) / (pi * hbarra * E^1/2) o lo mismo por L.
En 3D: m sqrt(2mE)/ (hbarra^3 * pi^2) o lo mismo por L^3.

[PBG]

Re: Densidad de estados en 2 dimensiones

Puede hacerse de 3 maneras diferentes.