Secundaria Error tangente del ángulo.

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Hola a todos,

En primer lugar, no estoy seguro de si este hilo está en el lugar correcto, pero no he encontrado otro más adecuado, así que si está mal ubicado, pido disculpas.

Pues bien, estoy haciendo un trabajo de Física experimental, vamos, ya lo he comentado en algún hilo sobre este tema. En concreto estoy haciendo un cálculo aproximado de la componente horizontal del campo geomagnético, y bien, como en toda medida, influyen los errores. De esto es de lo que quiero tratar, y espero, que puedan ayudarme

Bueno, el problema que tengo es calcular el error de la tangente. No me voy a alargar con el desarrollo del experimento, sino que básicamente lo que me interesa es el cálculo del error asociado a la tangente de un ángulo,medido en una brújula.

Por ejemplo, una medida es 45º, y expresada con su error sería $45\pm 1$ acorde a la brújula de la que dispongo. Entonces, necesito calcular la tangente, y ahí es donde tengo el problema.

En principio, tengo entendido que si $x=\tan \theta$ al introducir las incertidumbres respectivas, nos queda $x\pm \Delta x=\tan (\theta\pm \Delta\theta$. Esta tangente, por definición podemos escribirla:

$\tan (\theta\pm \Delta\theta)=\dst\frac{\sin \theta\pm \Delta \theta'}{\cos \theta\pm \Delta \theta''}$

Donde $\Delta\theta'=\Delta\theta|\cos \theta| ; \Delta\theta''=\Delta\theta|\sin \theta|$

Sin alargarme más, la expresión para el error relativo que se obtendría sería:

$\dst\frac{\Delta x}{x}=\Delta\theta csc\theta \cdot sec\theta$ donde $\Delta \theta$ debe venir dado en radianes.

Pero, leyendo otros libros sobre cálculo de errores, y algunos ejemplos con la tangente, veo, que justo en el caso que tengo obtienen lo siguiente:

$\theta =45\pm 1$º y $\tan 45=1\pm 0.07$ y este valor está expresado en grados, y para mi sorpresa, lo han hayado del siguiente modo: como la incertidumbre es de un grado, lo que han hecho es calcular la tangente de 46, en este caso, y restársela a la de 45, y a ese valor le han sumado el obtenido de restar la tangente de 45 a la tangente de 44, en valor absoluto, de modo que los errores se suman.

Mi pregunta es, ¿cuál es el método correcto?

Muchas gracias,

[carmelo]

Re: Error tangente del ángulo.

Hola:

En principio hay unas cuantas maneras de determinar la incertidumbre. Pero una manera bastante general es la siguiente. Si conocemos la incertidumbre en cierta medida, llamemosle $\Delta x$, y queremos determinar la incertidumbre de la funcion $y=f(x)$ expresandola como $\Delta y$ podemos utilizar la siguiente expresión:
$\Delta y = \left\vert \dst\frac{\dd y}{\dd x}\right\vert \Delta x$

Para este caso en particular obtengo:
(Hay que tener la precaución de convertir la incertidumbre en grados a radianes.)
$\tan 45^\circ=1.00\pm0.03$ aproximadamente la mitad de lo que tu planteas.

Saludos
Carmelo

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Re: Error tangente del ángulo.

Muchas gracias Carmelo, pero, ¿el resultado que expresas está en grados y la incetidumbre en radianes? ¿Por qué obtienes la mitad del resultado que obtengo por el otro método? Entonces, ¿el método que utilicé es incorrecto?

Muchas gracias una vez más.

[polonio]

Re: Error tangente del ángulo.

Mira en este enlace, creo que te resultará útil.

De todas formas, Carmelo va por el buen camino

[carmelo]

Re: Error tangente del ángulo.

Hola:
Quizas te confundi con la expresión final. Claramente $\tan 45^\circ=\tan \dst\frac{\pi}{4}$ asi que de la primera parte olvidate. El tema es que cuando utilizamos funciones trigonométricas debemos de utilizar radianes. Por ejemplo piensa cuando hacemos la aproximación $\tan x \approx x$ debemos utilizar radianes, sino el resultado que obtenemos es disparatadamente alejado del valor real.

Ahora volviendo a lo que planteas si esta mal o no lo que vos planteas. Creo que como aproximación está bien, aunque yo los ubiera promediado o tomar el mayor en lugar de sumarlos.

Ten presente que estos planteos son aproximaciones mas o menos válidas en las que en algún caso te pueden presentar objeciones.

Yo no soy físico, pero he hecho bastantes trabajos experimentales, en los que tomé como regla utilizar lo que se llama intervalos de confianza. Estos métodos son estadisticos y están bastante bien explicados para la mayoría de las situaciones prácticas.

Por ejemplo te puedo recomendar. "Estadística para Química Analítica", J.C. Miller & J.N. Miller. Como notarás es para química, pero no tendrás problemas en aplicarlo a otras areas, obviamente si buscas deben de existir libros mucho mas adecuados a tus necesidades.

Saludos
Carmelo

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Re: Error tangente del ángulo.

Mira en este enlace, creo que te resultará útil.

ya creo que me ha resultado útil

Muchas gracias a los dos, tanto a polonio por el enlace como a carmelo por su explicación.

Saludos,

[polonio]

Re: Error tangente del ángulo.

La bibliografía básica que se ha usado en estos apuntes es la de este enlace, aunque se trabajó con la primera edición (bastante más antigua). Supongo que esta edición viene bastante mejorada.