Otras carreras Momento de Inercia y comprobación del Teorema de Steiner

[vectra]

Hola a todos.

Tengo un problema con el cálculo de la constante de un muelle de torsión.
El martes pasado hicimos una practica de Física donde teníamos que tomar datos de los periodos de un péndulo de torsión, era una varilla de cierta masa con un muelle de torsión, dos pesas y una esfera. Para la primera parte tuvimos que calibrar el muelle y hallar la constante K del muelle. Para eso tuvimos que tomar 5 veces el tiempo que tarda en hacer 10 oscilaciones para 4 distancias cada vez más próximas al eje y dividir ese tiempo por 10. Con los 5 periodos resultantes se hacía el promedio y se sacaba el periodo para cada distancia, de ahí se cogía la fórmula ${\omega}_{0}(d)=2\pi/{T}_{d}$ y se sacaba la frecuencia de oscilación. De ahí es como sigue:

A partir de estos períodos podemos obtener la frecuencia de oscilación ${\omega}_{0}(d)=2\pi/{T}_{d}$ y su error asociado $\Delta\omega$ que se calcula teniendo en cuenta que es una medida indirecta. Los momentos de inercia del sistema con las dos masas adicionales viene dado por $I(d)={I}_{0}+2m{d}^{2}$ donde ${I}_{0}=M{L}^{2}/12$ para la varilla. Por consiguiente, representando las frecuencias de oscilación ${\omega}^{2}(d)=I(d)/K$ obtenidas frente a las distancias ${d}^{2}$ de las masas al eje de giro, los datos deberían distribuirse a lo largo de una recta de pendiente $2m/K$ y que corta el eje en ${I}_{0}/K$ en d=0. Conocida la masa m,
de estos dos datos puede obtenerse la constante del muelle de torsión K y el momento de inercia de la varilla ${I}_{0}$.

Y al final dice que representemos la frecuencia de oscilación ${\omega}^{2}$ en función de ${d}^{2}$ de las masas al eje de giro y que determines la constante del muelle por el método de los mínimos cuadrados. Pues bien, errores aparte, que creo que están mal hechos, al hacer los mínimos cuadrados me sale de pendiente -54,247 y de punto de corte me sale 4,33 mediante minimos cuadrados, hecho por dos métodos distintos e incluso con un programa que nos proporcionaron del laboratorio que te lo hacía automáticamente. Si hago lo que me dicen que $pendiente=2m/K$ y $pto. corte={I}_{0}/K$ me salen dos valores distintos de K, el primero me sale -0,00769 y el segundo me sale 0,000912. Aparte de que uno se diferencie en un orden de magnitud del otro, el primero me sale negativo y eso no puede ser. Yo sospecho que es por una de las frecuencias de oscilación que me sale alrededor de un 80% mayor que la anterior, para una distancia mayor que la de esta que digo y eso hace que ${\omega}^{2 }$ se me vaya a 5,48 por 0,000961 de ${d}^{2}$ y de ahí que la pendiente me salga grande y se dispersen mucho los puntos (4 puntos en total para cada distancia, 4 periodos, 4 frecuencias y 4 momentos). Algo interesante es que en la introducción del guión que nos han dado dicen $\omega=\sqrt{K/I}$ y no I/K como dicen en la parte que he citado. Os adjunto los métodos de mínimos cuadrados que he usado, la hoja de excel y una breve explicación dentro de cómo he calculado los errores. Una aclaración, la desviación para los errores de periodo la he calculado como $\sigma=\left\vert{} {T}_{i}-\bar{T}\right\vert{}$ y luego he hecho su máximo, más el error del cronómetro y me he quedado con eso, redondeado. Los métodos de las imágenes se corresponden con los del excel, respectivamente. Agradecería cualquier ayuda, muchísimas gracias de antemano.

datos mom inercia.zip

[arivasm]

Re: Momento de Inercia y comprobación del Teorema de Steiner

Hay algo que me extraña muchísimo: si no me equivoco, el período de un péndulo de torsión es $\dst T=2\pi\sqrt{\frac{I}{K}}=2\pi\sqrt{\frac{I_0+2md^2}{K}}$, con lo que lo razonable sería representar $\dst \frac{1}{\omega^2}=\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{I_0}{K}+\frac{2m}{K}d^2$ frente a $d^2$.

[vectra]

Re: Momento de Inercia y comprobación del Teorema de Steiner

Lo primero, se me ha olvidado decir como iba el experimento, se ponen las dos pesas que eran cilíndricas simétricas respecto del eje, con distancias más próximas la eje en cada una de las 4 medidas, se desplazaba de su punto de equilibrio y se medían 10 oscilaciones y lo demás es como he indicado, por si hace falta.

Hay algo que me extraña muchísimo: si no me equivoco, el período de un péndulo de torsión es $\dst T=2\pi\sqrt{\frac{I}{K}}=2\pi\sqrt{\frac{I_0+2md^2}{K}}$, con lo que lo razonable sería representar $\dst \frac{1}{\omega^2}=\frac{T^2}{4\pi^2}=\frac{I_0}{K}+\frac{2m}{K}d^2$ frente a $d^2$.

He probado de tal forma, despejando K, con lo que me queda $K={\omega}^{2 }({I}_{0}+2m{d}^{2})$ y de ahí calculando la K con los valores de la hoja de excel, ${I}_{0}=0,003948$ siendo este constante, 0,2085 para las pesas y para la frecuencia he tomado los que he sacado a partir de los periodos $\omega=2\pi/{T}_{d}$ y la distancia, la que corresponda y me salen los siguientes datos:

distancia d	constante de muelle K
d1	0,0245886116
d2	0,0245103673
d3	0,0241389056
d4	0,0238119443

Salen datos mas o menos iguales, claro porque hay un error, pero en el guiñon que nos dan, lo que he citado pone que saquemos la K a partir de mínimos cuadrados y no calcularla así directamente y representar la frecuencia al cuadrado en funcion de la distancia al cuadrado y de ahi hacer mínimos cuadrados y sacar K por la relación que nos dan de pto. corte y pendiente. Eso o yo no lo he entendido. La fórmula que has deducido no entiendo como podría representarse. Porque a nosotros nos piden que representemos el cuadrado de la frecuencia y de tu fórmula, para hacer eso ya tienes que saber cual es la K. Lo que interpreto que has hecho es calcular K directamente y supongo que eso está bien, pero como nos piden que la saquemos de la aproximación por mín. cuadrados, no se si valdrá. Si no es así, corrígeme. Muchas gracias por tu ayuda.

[arivasm]

Re: Momento de Inercia y comprobación del Teorema de Steiner

No hace falta conocer la K. La idea sería representar $y=\frac{1}{\omega^2}$ frente a $x=d^2$. En la recta de ajuste, $y=ax+b$ la pendiente será $a=2m/K$, con lo que obtienes la constante ($K=2m/a$), y la ordenada en el origen será $b=I_0/K$, con lo que determinas el mdi $I_0$.

[vectra]

Re: Momento de Inercia y comprobación del Teorema de Steiner

Vale, con esos resultados sale 0,02472 para K, a partir de la pendiente, pero ${I}_{0}$ yo creo que no hay que calcularla a partir del punto de corte, porque ya se sabe, es ${I}_{0}=M{L}^{2}/12$, dicho esto, la he calculado a partir de la recta y me ha salido 0,004153 y con la fórmula que he dicho sale 0,003948, pero supongo que será por error. Lo único que yo entiendo que hay que calcular a partir de la recta es K, y poniendo $y=\frac{1}{{\omega}^{2}}$ sale perfectamente ese valor que he indicado. Ahora bien, para calcular el error de K, no se como puedo proceder. Yo veo dos formas, calcular el error de la pendiente y del punto de corte mediante min. cuadrados y de ahí sacar el de la K o calcularlo a partir de los errores del momento y frecuencia que ya he calculado al ser indirectos. Y es que yo no veo para que hay que calcular los errores del momento y la frecuencia, si al final, simplemente calculando el error de pto. corte y pendiente te sale el error de K y esos dos errores no tienen que ver con los errores de frecuencia (que es el eje y). O sea, para explicarme mejor, he calculado el error de la distancia, del periodo, frecuencia y momento, bien. Luego he calculado K, bien. Ahora en el guión de cálculo de error de mín. cuadrados muestra un método para calcular el error de pendiente y de punto de corte, pero ese método es independiente de los errores de los datos que se toman para hacer la recta (esto es, distancia y frecuencia en este caso), es simplemente usando una fórmula y los valores de la frecuencia y distancia. Y mi pregunta es, ¿no habría que usar los errores de distancia y frecuencia para calcular el error de K? ¿O es que simplemente aplicando esas fórmulas sin tener en cuenta sus errores sale la fórmula de K? Muchas gracias de nuevo.

[arivasm]

Re: Momento de Inercia y comprobación del Teorema de Steiner

Desde luego, lo idóneo es calcular K e I_0 a partir de los errores de la pendiente y de la ordenada en el origen. Por ejemplo, en esta página hay una calculador que te da el de la pendiente (y también aparece la fórmula para calcular a partir de ése el de la ordenada en el origen): http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/ci.../regresion.htm

Con respecto a no usar los errores de las medidas el motivo es porque la metodología matemática que los maneja es mucho más compleja.

Por último, si quieres tomar una salida sencilla para la determinación del error de K, una vez comprobado que el I_0 que sale del ajuste se corresponde aceptablemente bien con el calculado para el mdi de una varilla, puedes usar este último valor como exacto y determinar a partir de cada medida la K correspondiente, si quieres con su cota de error. La cota de error de la K final o bien la obtienes con la propia dispersión de sus valores o quedándote con la mayor de las cotas de error de las K.

De todos modos, como ya dije, encuentro que lo más elegante es recurrir al error de la pendiente del ajuste.