1r ciclo Intensidad y parámetro de onda

[leo_ro]

La intensidad de cualquier onda, ya se mecánica o electromagnética, ¿siempre tiene el parámetro que oscila al cuadrado?

Así por ejemplo la intensidad de una onda sonora es: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y la intensidad de una onda EM es: $c{E}^{2}$.

Es decir ¿es una propiedad de las ondas que el parámetro oscilante esté al cuadrado en la intensidad? Hasta ahora veo que es propio de las ondas lineales en cuerda, ondas sonoras y ondas electromagnéticas pero no sé si es aplicable a todas las ondas.

Saludos.

[Rodri]

Re: Intensidad y parámetro de onda

Yo diría que el hecho de que la intensidad sea una función cuadrática de esos parámetros oscilantes de las ondas se debe a que la función energía en cada caso es de por sí una función cuadrática de esas magnitudes que se propagan.
Imaginemos que observamos lo que sucede en un punto fijo del espacio por el que pasa la onda. Por ejemplo, supongamos que se trata de una onda mecánica transversal en un sólido. Lo que observamos en ese punto fijo es simplemente una oscilación (supongamos que armónica) en la distancia de un átomo de la red con respecto a su posición de equilibrio. Si llamamos A a la amplitud de esa oscilación sabemos que la energía de la oscilación observada es proporcional a $A^{2}$. Pero el observador quieto en ese punto no necesita formular lo que sucede con el concepto de onda, lo que para él hay es simplemente una oscilación armónica. El concepto de onda surge cuando la observación se hace sobre un dominio del espacio y relacionamos lo que ocurre en un punto del dominio con lo que ocurre en otro en un marco temporal común.

Un saludo
Rodri

[leo_ro]

Re: Intensidad y parámetro de onda

Tienes razón, en realidad quise hacer referencia a la energía y no a la intensidad. Digo esto porque tanto las ondas mecánicas (lineales como en una cuerda) y las ondas electromagnéticas, la energía de estas tienen el parámetro oscilante al cuadrado.
Así por ejemplo para determinar la expresión para la energía de una onda que se mueve sobre una cuerda se parte de la energía potencial elástica del oscilador que siendo esta energía mecánica será igual a la energía cinética.

$E= \frac{1}{2 } k {A}^{2} = \frac{1}{2 } m {{v}_{m}}^{2}$

$v(t) = \omega A cos (\omega t)$ $\Rightarrow$ ${v}_{m}= \omega A$

Así que la energía de la onda mecánica es: $E= \frac{1}{2 } m { \omega}^{2}{A}^{2}$

En cambio para determinar la expresión de la energía de una onda EM, se parte de las densidades volumétricas de energía de los campos, tal que:

${\delta}_{E} = \frac{1}{2 } \varepsilon {E}^{2}$ , ${\delta}_{B} = \frac{1}{2 \mu} {B}^{2}$

Por lo que la energía de la onda EM es : $E= \frac{{E}^{2}}{ \mu c} = \frac{c {B}^{2}}{\mu }$

En ese caso estamos hablando de los valores instantáneos de la onda, pero podemos utilizar los valores eficaces. Digo ya que en la onda mecánica se habla de energía máxima.

Así que mi pregunta es, ¿si es una propiedad de cualquier onda que la magnitud o parámetro oscilante, propio de la misma, está a la segunda potencia en la expresión de la energía (y por lo tanto de la potencia y intensidad). ¿O no es el caso para todas las ondas?

[carroza]

Re: Intensidad y parámetro de onda

Hola.

Una onda es una perturbación que se propaga. Una perturbación es un cambio de un sistema con respecto a una situación de equilibrio. En una situación de equilibrio la energía es mínima.

Por tanto, si definimos un parámetro (cambio de presión, campo eléctrico, etc), para describir una desviación del equilibrio, entonces la energía debe depender cuadráticamente de este parámetro, siempre que el parámetro sea pequeño.

Por tanto, en general, la energía de las ondas va a depender cuadráticamente del parámetro para perturbaciones pequeñas. Esto es lo que se llama el régimen lineal.

Así, la energía de una onda sonora depende cuadráticamente de las diferencias de presión, si estas diferencias son pequeñas frente a la presión atmosférica.

La energía luminosa va a depender cuadráticamente del campo eléctrico, si el campo es débil frente a las propiedades dieléctricas del medio (en otras palabras, que no salten chispas).

Incluso en el vacío, la energía electromagnética va a depender cuadráticamente de los campos eléctricos y magnécticos, siempre y cuando estos campos sean suficientemente débiles para que no se produzca polarización del vacío (creación de electrones y positrones).

Saludos

[Rodri]

Re: Intensidad y parámetro de onda

La intensidad de la onda no es más que la energía por unidad de tiempo y por unidad de superficie normal a la propagación. Todo lo dicho en mi anterior mensaje es aplicable a la energía o a la intensidad, esto da igual. Y vuelvo a insistir en lo que he dicho: la dependencia con el cuadrado de la amplitud o del campo es una característica de la propia función energía del fenómeno oscilatorio LOCAL (ya sea mecánico o eléctrico), aunque no se propague como una onda.
Por tanto, lo que dices, que la intensidad de la onda depende del cuadrado de la magnitud oscilante, es cierto siempre que la energía del fenómeno local dependa también del cuadro de esa magnitud oscilante.

Cuando hablamos de una onda hablamos de una magnitud física que se propaga. En el ejemplo de la onda mecánica en el sólido podemos considerar como magnitud que se propaga la amplitud de oscilación y entonces se cumple que la intensidad de la onda es proporcional a su cuadrado. Pero también podemos considerar en ese ejemplo, una magnitud física oscilante que se propaga y tal que la intensidad de la onda NO va con el cuadrado de ella: la energía cinética.

Una onda transversal en una cuerda tiene la forma $y(x,t)=A\sin{(\omega t-kx)}$

La velocidad transversal es $\dot{y}(x,t)=A\omega \cos{(\omega t-kx)}$

Y la energía cinética en cada elemento de la cuerda en el intervalo [x,x+dx] es $dEc(x,t)=\frac{1}{2}(\dot{y}^{2})\lambda dx$, siendo $\lambda$ la densidad lineal de masa en la cuerda

es decir $dEc(x,t)=\frac{1}{2} A^{2}\omega^2 cos^{2} (\omega t - kx) \lambda dx = \frac{1}{4} A^{2}\omega^2 [1 + \cos{ 2(\omega t - kx)} ] \lambda dx$
Esta última expresión puede descomponerse en un valor constante "promedio" $\frac{1}{4}A^{2}\omega^2 \lambda dx$ más una fluctuación de energía cinética $A^{2}\omega^2 \cos{ 2(\omega t - kx)\lambda dx}$ , que se propaga como una onda de la misma velocidad que la onda de elongación transversal. Si estudiamos esta última "onda" de energía, vemos que en este caso la propia magnitud oscilante es ya una energía por lo que la energía propagada por la onda no depende del cuadrado de la magnitud propagada. La energía total propagada sería la suma de la energía cinética propagada más la energía potencial elástica propagada.

Un saludo
Rodri

[carroza]

Re: Intensidad y parámetro de onda

Hola.

En el ejemplo que pones, la energía total de cada elemento de la cuerda vibrante, es la suma de una energía potential debido al estiramiento elástico de la cuerda , proporcional a $\left({d y(x,t) \over dx}\right)^2$, mas un término de energía cinética, proporcional a $\left({d y(x,t) \over dt} \right)^2$. En cualquier caso, ambos términos son proporcionales a la amplitud de la oscilación A al cuadrado.

No obstante, esto es sólo cierto si las oscilaciones son pequeñas, de forma que la cuerda se comporta como un ente perfectamente elástico.

[Rodri]

Re: Intensidad y parámetro de onda

Estoy de acuerdo carroza, pero lo que trataba de decir es que en una onda podemos estudiar diferentes parámetros físicos asociados a ella que se propagan a la misma velocidad. Si el parámetro oscilatorio cuya propagación estudiamos es la amplitud de oscilación entonces la dependencia de la energía con ese parámetro es cuadrática. Esto es la forma habitual de estudiar las ondas. Pero si definimos una onda de "energía cinética oscilante" como yo he hecho (ya sé que no es muy ortodoxo pero puedo definir tal onda en un ejercicio puramente académico) entonces, el propio parámetro oscilante contribuye a la energía que se propaga de forma lineal y no cuadrática, porque el propio parámetro ya tiene dimensiones de energía.

En definitiva lo que trataba de hacer ver a leo_ro es que la dependencia cuadrática de la energía con ciertos parámetros que caracterizan un fenómeno oscilatorio (como la amplitud de elongación en una onda mecánica o la amplitud de campo eléctrico en una onda electromagnética) es inherente al propio fenómeno oscilatorio, antes de considerar la propagación de la onda, pero no es inherente al fenómeno ondulatorio per se.

En otras palabras, tenemos una onda siempre que que una magnitud física CUALQUIERA, llamémosla $\Psi$, satisface la ecuación de la forma

$\nabla^{2}\Psi - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \Psi}{\partial^{2} t^{2}}=0$ , donde c es una constante.

Esta ecuación no implica nada respecto a que la energía propagada tenga dependencia cuadrática con $\Psi$, sino que, dependiendo de quién sea $\Psi$, esa dependencia será cuadrática o no.

[leo_ro]

Re: Intensidad y parámetro de onda

. Pero si definimos una onda de "energía cinética oscilante" como yo he hecho (ya sé que no es muy ortodoxo pero puedo definir tal onda en un ejercicio puramente académico) entonces, el propio parámetro oscilante contribuye a la energía que se propaga de forma lineal y no cuadrática, porque el propio parámetro ya tiene dimensiones de energía.

$\frac{{\partial}^{2} \Psi }{ {\partial \vec{r}}^{2} } = \frac{1}{ {v}^{2}} \frac{{\partial}^{2} \Psi }{ {\partial t}^{2} }$

Si $\Psi$ es una magnitud de energía. Supongo que no tendría solución la ecuación anterior porque hasta donde entiendo la energía no tiene localización espacial, por lo que se puede hablar de la energía de una onda y no una onda de energía.

Pero entendí la explicación. Gracias a ambos.

Pensando un poco la ecuación $Ec (x,t)=\frac{1}{4 } m{\omega}^{2}{A}^{2} + \frac{1}{2 }m {\omega}^{2}{A}^{2} cos (\omega t - kx) = A {B}^{*}$

con $A, B$ complejos.

Me hace acordar a la potencia aparente de una onda electromagnética. En donde $\frac{1}{4 } m{\omega}^{2}{A}^{2}$ sería la energía que se gasta y el término siguiente la energía que se pone en juego en la oscilación, algo así como potencial.

[carroza]

Re: Intensidad y parámetro de onda

En otras palabras, tenemos una onda siempre que que una magnitud física CUALQUIERA, llamémosla $\Psi$, satisface la ecuación de la forma

$\nabla^{2}\Psi - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \Psi}{\partial^{2} t^{2}}=0$ , donde c es una constante.

Esta ecuación no implica nada respecto a que la energía propagada tenga dependencia cuadrática con $\Psi$, sino que, dependiendo de quién sea $\Psi$, esa dependencia será cuadrática o no.

Hola. Para que las ecuaciones de movimiento del campo $\Psi(x,t)$ sea de la forma que expresas,
la densidad lagrangiana del sistema debe ser de la forma

${\cal L} = a (\vec \nabla \Psi)^2 + b (\partial \Psi / \partial t)^2$.

En este caso, y sólo en este caso, las ecuaciones de Euler-Lagrange llevan a la ecuación de ondas lineal que pones.
Si la densidad lagrangiana es cuadrática en los campos y sus derivadas, también lo es la densidad hamiltoniana.
Por tanto, el hamiltoniano y la energía serán cuadráticos en el campo $\Psi(x,t)$ y sus derivadas.

Saludos