1r ciclo Despejar un error relativo

[sater]

Buenas. En un informe de laboratorio sobre el péndulo de Kater tengo una cuestión acerca del error en $g$. Si el error viene dado por:

${\left(\dfrac{\Delta g}{g}\right)}^{2}=4 {\left(\dfrac{\Delta T_1}{T_1}\right)}^{2} + \dfrac{\Delta H}{H}$

La pregunta es más o menos, " conocido el error en H y si queremos que el error en g sea del orden de las milésimas (lo entiendo como $10^{-3}$), ¿cuál debe ser el error en el periodo?"

El problema es al despejar, supongo que como los errores no se restan el delta de H lo paso sumando, y dejo así la fórmula:

$\dfrac{\Delta T}{T}=\sqrt{\dfrac{1}{4} \left({\left(\dfrac{\Delta g}{g}\right)}^{2}+\dfrac{\Delta H}{H}\right)}$

¿Se puede hacer así?

[angel relativamente]

Re: Despejar un error relativo

Yo no lo llego a ver claro. Es cierto que cuando estudias la propagación de errores el error de la diferencia se suma y los errores siempre se toman en valor absoluto. Pero si después de haber calculado la relación entre errores llegas a $\epsilon_a = \epsilon_b+\epsilon_c$, entonces está bien claro que por ejemplo $\epsilon_b=\epsilon_a - \epsilon_c$. Sería ilógico que fuese de otra forma, pues un despeje no va a hacer que aumente o disminuya el error.

Saludos,

[felmon38]

Re: Despejar un error relativo

Echándole mucha cara, ya que no soy experto en errores, debo decir que Sater me ha convencido, y que la incongruencia que señala Angel se podría salvar si en vez del signo +, en el término correspondiente a H, se pone +_.
Saludos

[oscarmuinhos]

Re: Despejar un error relativo

Buenas. En un informe de laboratorio sobre el péndulo de Kater tengo una cuestión acerca del error en $g$. Si el error viene dado por:

${\left(\dfrac{\Delta g}{g}\right)}^{2}=4 {\left(\dfrac{\Delta T_1}{T_1}\right)}^{2} + \dfrac{\Delta H}{H}$¿Se puede hacer así?

Hola sater
Lo que yo no entiendo bien es...¿cómo obtienes esta expresión del error? ¿Y de que error se trata? ¿Es un error relativo?. Si, por lo que parece, se trata de un error relativo, a mí me llama la atención que aparezcan potencias en tal error relativo.

Por otra parte, si se trata de obtener el valor de $g$ a partir de la medida del período de oscilación $T$ de ese péndulo de Kater, creo que se ha de distinguir entre errores accidentales que son los que se espera que desaparezcan al promediar varias medidas (en este caso del período) y los errores de lectura (que vienen a ser el margen de precisión de tu aparato de medida)
Un saludo

[sater]

Re: Despejar un error relativo

Buenas de nuevo. Extiendo la explicación para entender el contexto:
En dicha asignatura se nos permite repetir tantas veces como queramos un informe, en la primera versión yo hice una deducción bastante mala del error basándome en algunas premisas, obteniendo una expresión sin potencias que el profesor me tachó. El por su parte me anotó la que arriba expongo. La fórmula en si que relaciona distancias a los ejes, periodos y gravedad es:
$\dfrac{4 {\pi}^{2}}{g} = \dfrac{{T_1}^{2}+{T_2}^{2}}{2 \left(h_1 + h_2\right)} + \dfrac{{T_1}^{2}-{T_2}^{2}}{2 \left(h_1 - h_2\right)}$

donde h1 sería distancia desde el CM al eje mas cercano, h2 al más lejano, y su suma es un metro por construcción.

[oscarmuinhos]

Re: Despejar un error relativo

Hola
En primer lugar, para estudiar la incertidumbre de $g$ a partir de las medidas experimentales de $T_1$ y $T_2$ conviene empezar por despejar la g y, para esto, tal vez convenga partir de la expresión anterior a la que pones tú:

$\dst \frac{4\pi^2}{g}= \frac{h_1.T_1^2 - h_2.T_2^2}{h_1^2-h_2^2}$ de donde $g= \dst 4\pi^2\frac{h_1^2-h_2^2}{h_1.T_1^2-h_2:T_2^2}$

A partir de aquí, el método para el estudio de errores no es único. Un método basado en la estadística, -y creo que el más recomendado-, parte de que g es función de las variables $h_1$, $h_2$, $T_1$ y $T_2$: $g= F(h_1, h_2, T_1, T_2)$

A cada una de estas variables corresponde un valor medio y una incertidumbre:
Valor medio:
para $h_1$ y $h_2$, al no haber datos experimentales, tendrá que ser la medida que nos da el micrómetro y las de $T_1$ y $T_2$ será el valor medio de las medidas efectuadas

Incertidumbre:
Para $h_1$ y $h_2$ habrá de tomarse la precisión con que el micrómetro da las medidas de $h_1$ y $h_2$;

Para $T_1$ y $T_2$ habrá que considerar dos tipos de incertidumbre: el asociado al proceso de medida y el asociado a la precisión del cronómetro con el que se realizan las medidas de $T_1$ y $T_2$.

a) incertidumbre asociado a las medidas: se trata simplemente de calcular el estadístico de la desviación típica muestral:

$\dst u_A(\bar{T}) = \frac{s}{\sqrt{n}}$ donde $\dst s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i = 1}^n (T_i - \bar{T})^2$

b) incertidumbre asociada a la precisión del cronómetro:

habrá que tomar para esta incertidumbre $u_B(\bar{T})$ (a falta de otra indicación del fabricante del cronómetro) la precisión del cronómetro.

De estas dos incertidumbres se obtiene la incertidumbre combinada sumando los cuadrados (varianzas) de cada una:

$\dst u_A^2(\bar{T}) + u_B^2(\bar{T}) = u_c^2(\bar{T})$

Calculados los valores medios y las desviaciones de cada variable que intervienen en la ecuación de g, la varianza de g (cuadrado de la desviación típica o incertidumbre) vendría dada por:

$\dst u^2(\bar{g}) = \left(\frac{\partial g}{\partial h_1} \right)^2.u^2(\bar{h}_1) + \left(\frac{\partial g}{\partial h_2} \right)^2.u^2(\bar{h}_2)$ + $\dst \left(\frac{\partial g}{\partial T_1} \right)^2.u^2(\bar{T}_1)$ + $\dst \left(\frac{\partial g}{\partial T_2} \right)^2.u^2(\bar{T}_2)$ y donde cada derivada parcial se calcula para el valor medio $\bar{X_M}$ de las variables $h_1$, $h_2$, $T_1$ y $T_2$.

Se halla a continuación la raíz cuadrada de esta varianza de $g$ y se tiene la incertidumbre de $g$

[sater]

Re: Despejar un error relativo

Vaya, muchisimas gracias por las molestias Óscar! La verdad es que no hemos dado análisis de errores riguroso, pero luego si pide tener mucho cuidado con ello.
Lo intentaré así a ver que tal, gracias de nuevo!

[oscarmuinhos]

Re: Despejar un error relativo

Hola sater
Lo que te pediría es que cuando el profesor os corrija el trabajo nos cuelgues a todos en este hilo cual método de tratamiento de errores emplea vuestro profesor, porque, en verdad, me llamó la atención la expresión de errores que has puesto en post #1
Gracias y saludos

[sater]

Re: Despejar un error relativo

Me parece correcto =)

[carroza]

Re: Despejar un error relativo

Buenas. En un informe de laboratorio sobre el péndulo de Kater tengo una cuestión acerca del error en $g$. Si el error viene dado por:

${\left(\dfrac{\Delta g}{g}\right)}^{2}=4 {\left(\dfrac{\Delta T_1}{T_1}\right)}^{2} + \dfrac{\Delta H}{H}$

La pregunta es más o menos, " conocido el error en H y si queremos que el error en g sea del orden de las milésimas (lo entiendo como $10^{-3}$), ¿cuál debe ser el error en el periodo?"

El problema es al despejar, supongo que como los errores no se restan el delta de H lo paso sumando, y dejo así la fórmula:

$\dfrac{\Delta T}{T}=\sqrt{\dfrac{1}{4} \left({\left(\dfrac{\Delta g}{g}\right)}^{2}+\dfrac{\Delta H}{H}\right)}$


¿Se puede hacer así?

Hola. La propagacion del error del pendulo de kater es

${\left(\dfrac{\Delta g}{g}\right)}^{2}=4 {\left(\dfrac{\Delta T_1}{T_1}\right)}^{2} + \left(\dfrac{\Delta H}{H}\right)^2$

y no, no puedes cambiar el signo al despejar el error relativo de T. Para que el error relativo de g sea 0.001, el error relativo de T debe ser, como máximo, 0.0005. Este sería el caso si el error relativo de H es despreciable.

Si el error relativo de H es mayor que 0.001, entonces, por muy buena que sea tu medida en T, nunca conseguirás una precisión de 0.001 en g.

Saludos

[sater]

Re: Despejar un error relativo

Buenas. Lo primero, gracias.
Lo segundo, ¿Entonces con lo expuesto por Óscar llegaría a ese resultado?, ¿El resto de operaciones las he realizado bien? Me refiero a dividir por cuatro y pasar la raíz.

[carroza]

Re: Despejar un error relativo

Hola. Utiliza las fórmulas 14 y 15 de

http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_de_Kater

propaga errores cuadráticamente, ignorando el error de I_0 y te sale la fórmula que te puse.

Si te refieres a tu despeje del #1, está mal. No hay ninguna razón para cambiar el signo de $(\delta H / H)^2$.

saludos