1r ciclo unidades de distancia en espacios de distintas unidades.

[guibix]

Hola a todo el mundo,

Tengo una duda un poco tonta sobre qué unidades debe tener una distancia medida en un espacio de dimensiones con distintas unidades.

Por ejemplo en el un espacio fásico de dos dimensiones (momento vs distancia) ¿con que unidades se miden las trayectorias en dicho espacio?

¿Son unidades de momento por distancia (momento angular) o de qué?

Sé que en el caso de trabajar con unidades naturales, en muchos casos las distintas magnitudes tienen las mismas unidades, como ocurre con el espacio-tiempo o el mismo espacio fásico. Lo que no entiendo es qué ocurre si comparo dos magnitudes que no pueden tener las mismas unidades naturales como aceleración y posición, por ejemplo.

¿Tengo que "forzar" las unidades para que sean las mismas (por ejemplo definiendo una en función de la otra, si es que se puede. O añadiendo o quitando masas para hacer coincidir las unidades naturales)?

¿Qué otras formas hay de abordar este problema?

Gracias y hasta pronto!

[hennin]

Re: unidades de distancia en espacios de distintas unidades.

El espacio de las fases es una simple proyección de la gráfica de las soluciones de una determinada ecuación diferencial. Se proyecta de modo que el tiempo no se observa, es por ello que se estudian sistemas de ec. diferenciales que no dependen de la variable independiente (autónomos). Si dependiera del tiempo no se podría proyectar de manera única.

Por tanto esas trayectorias tienes que verlas de un modo más abstracto pues es la proyección de la trayectoria real. Por tanto, no tiene mucho sentido preguntarse por sus unidades de magnitud (pues es una trayectoria deformada por llamarlo así) sino por su descripción cualitativa (si es un centro, pto atractor/repulsor, etc.)

Espero haberte ayudado, saludos

[carroza]

Re: unidades de distancia en espacios de distintas unidades.

Por ejemplo en el un espacio fásico de dos dimensiones (momento vs distancia) ¿con que unidades se miden las trayectorias en dicho espacio?

Hola. Hay un caso particular en la que la selección de unidades es bastante obvia. Se trata del oscilador armónico. Siempre puedes redefinir tus coordenadas y momentos como magnitudes con dimensión de raíz de la energía, de forma que las trayectorias en el espacio fásico sean circunferencias, cuya variación temporal sea $x = \sqrt{E} \cos(wt+ \phi), p= \sqrt{E} \sin(wt + \phi)$. En ese caso, el hamiltoniano es $H = x^2 + p^2$. Esto se llaman coordenadas canónicas.

En el caso general, la selección puede ser más complicada, pero si partes de un problema que tenga un punto de equilibrio estable, siempre puedes definir tus coordenadas para que, cerca del punto de equilibrio, coincidan con las coordenadas canónicas.