Secundaria Ayuda con Análisis Dimensional por favor

[pipe_tano]

Hola amigos, les agradecería si me pueden ayudar a resolver este problema de análisis dimensional:

Si la siguiente ec. es dimensionalmente homogénea, determinar las ec. dimensionales de x, y, x, siendo P densidad, R longuitud, Q presión y A área (a=z)

.............Q²R-Py
x = √ ( ----------- )
...........πP(A²-a²)

[MrM]

Re: Ayuda con Análisis Dimensional por favor

Hola amigos, les agradecería si me pueden ayudar a resolver este problema de análisis dimensional:

Si la siguiente ec. es dimensionalmente homogénea, determinar las ec. dimensionales de x, y, x, siendo P densidad, R longuitud, Q presión y A área (a=z)

.............Q²R-Py
x = √ ( ----------- )
...........πP(A²-a²)

Vamos a averiguar la ecuación de dimensiones de x e y en base LTM (longitud, tiempo, masa).

En primer lugar, vamos a empezar con el numerador: ${Q}^{2}R-Py$. Este, a su vez, se puede dividir en dos partes, ${Q}^{2}R$ y $Py$.

Empezamos por la primera. La presión es $Q=\frac{F}{A}$ (fuerza/área). A su vez, la fuerza es F=ma. Por lo tanto, $F=ML{T}^{-2}$. Como $A={L}^{2}$, nos queda que $Q=M{L}^{-1}{T}^{-2} \Rightarrow {Q}^{2}={M}^{2}{L}^{-2}{T}^{-4}$. A su vez, R=L, por lo que ${Q}^{2}R={M}^{2}{L}^{-1}{T}^{-4}$.

A eso tenemos que restarle Py. Para sumar o restar dos números, estos tienen que tener las mismas dimensiones. Por lo tanto $Py={M}^{2}{L}^{-1}{T}^{-4}$. Calculamos las dimensiones de P. $P=\frac{m}{v}=M{L}^{-3}$. $y=\frac{{M}^{2}{L}^{-1}{T}^{-4}}{P}=\frac{{M}^{2}{L}^{-1}{T}^{-4}}{M{L}^{-3}}=M{L}^{2}{T}^{-4}$.

Ya tenemos las dimensiones de y, así que seguimos con la x.
Las ecuación de dimensiones del numerador es ${Q}^{2}R-Py={M}^{2}{L}^{-1}{T}^{-4}$.
Calculemos las del numerador. En primer lugar, $\pi$ es adimensional, así que nos olvidamos de él. No entiendo muy bien eso de a=z, pero supondré que a es otro área. Por lo tanto, ${A}^{2}-{a}^{2}={L}^{2}$. Como ya teníamos la ecuación de dimensiones de P, nos queda $\pi P({A}^{2}-{a}^{2})=M{L}^{-1}.$.

La ecuación de dimensiones de $\frac{{Q}^{2}R-Py}{{A}^{2}-{a}^{2}}$ es $\frac{{M}^{2}{L}^{-1}{T}^{-4}}{M{L}^{-1}}=M{T}^{-4}$

Las dimensiones de x son la raíz de eso, es decir ${M}^{\frac{1}{2}}{T}^{-2}$ (es la primera vez que veo una fracción en una ecuación de dimensiones, no sé si eso es posible... aunque el análisis dimensional no miente xD).
Solo como recordatorio, las de y eran $y=M{L}^{2}{T}^{-4}$.

Me parece que no he cometido ningún error, aunque no importa si lo he hecho. Lo importante es que aprendas el procedimiento: al sumar o restar no se alteran las dimensiones, aunque para poder sumar o restar dos términos tienen que tener la misma ecuación de dimensiones. Al multiplicar y dividir si se alteran las ecuaciones de dimensiones.

Un saludo.