1r ciclo Matriz de transferencia, no entiendo la notación

[arbolis87]

Hola, estoy teniendo dificultades a entender cómo formar la matriz de transferencia de un sistema óptico. Más precisamente, no entiendo cómo encontrar los coeficientes A, B, C y D de la matriz de transferencia (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Ray_tra...ransfer_matrix). No entiendo la notación de wikipedia. Qué quieren decir con $A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0}$? Sé lo que es A, sé lo que son $x_1$, $x_2$, $\theta_1$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , pero no la notación. Alguien me puede ayudar? Gracias de antemano!

[aLFRe]

Re: Matriz de transferencia, no entiendo la notación

Hola, estoy teniendo dificultades a entender cómo formar la matriz de transferencia de un sistema óptico. Más precisamente, no entiendo cómo encontrar los coeficientes A, B, C y D de la matriz de transferencia (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Ray_tra...ransfer_matrix). No entiendo la notación de wikipedia. Qué quieren decir con $A = {x_2 \over x_1 } \bigg|_{\theta_1 = 0}$? Sé lo que es A, sé lo que son $x_1$, $x_2$, $\theta_1$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , pero no la notación. Alguien me puede ayudar? Gracias de antemano!

El cálculo matricial que yo he estudiado era para Óptica Paraxial.
Cada rayo se identificaba por una matríz columna donde la primera fila era el ángulo que formaba el rayo con el eje óptico y el segundo la altura del rayo sobre dicho eje
- con el criterio de signos que sea -
En el link que proporcionas el orden está invertido.
Por otra parte el sistema óptico se refiere a unos puntos sobre el eje del sistema
que subindexan la matriz y aclaran al notación - yo siempre lo uso - y eso no aparece en la notación del link de wikipedia.

SEgún los puntos que elijas y los rayos hay una correspondencia inmediata para los elementos de matriz.
Tendría que verlo para este caso.
Un saludo.

[arbolis87]

Re: Matriz de transferencia, no entiendo la notación

El cálculo matricial que yo he estudiado era para Óptica Paraxial.
Cada rayo se identificaba por una matríz columna donde la primera fila era el ángulo que formaba el rayo con el eje óptico y el segundo la altura del rayo sobre dicho eje
- con el criterio de signos que sea -
En el link que proporcionas el orden está invertido.
Por otra parte el sistema óptico se refiere a unos puntos sobre el eje del sistema
que subindexan la matriz y aclaran al notación - yo siempre lo uso - y eso no aparece en la notación del link de wikipedia.

SEgún los puntos que elijas y los rayos hay una correspondencia inmediata para los elementos de matriz.
Tendría que verlo para este caso.
Un saludo.

Gracias por ayudarme. En realidad yo también estoy estudiando óptica con la aproximación paraxial. Ahora entiendo que en esta aproximación, hay una relación lineal entre $\theta _i$, $x_i$ , con i=1,2. Luego es posible trabajar con matrices. Conociendo la posición de entrada al sistema óptico de un rayo de luz, con respecto al eje óptico y conociendo el ángulo con respecto a dicho eje, es posible determinar cómo saldrá del sistema óptico (he leído que está determinado por 2 planos y no puntos como creo entender de tu post). Más precisamente, se tiene que $x_2=Ax_1 + B \theta _1$ y $\theta _2 = Cx_2 + D \theta _1$. Ahora entiendo la notación de wikipedia. Despejan A, B, C y D de las 2 ecuaciones que acabo de dar, y ponen $\theta _1 =0$ en 2 casos (por la aproximación paraxial) y $x_1=0$. Luego se puede encontrar los valores de wikipedia. Sin embargo, no lo logro hacer para el coeficiente D de la matrix de transferencia. Tenemos que $D=\frac{\theta _2 - Cx_2}{\theta _1}$. Según wikipedia, ponen $x_1=0$ y tienen que $D=\frac{\theta _2}{\theta _1}$. ¿Cómo es esto? No entiendo por qué es cierto esto. Alguien me puede explicar esto? Todo está bien para los otros 3 coeficientes de la matriz, los valores coinciden con los que calculo.

[aLFRe]

Re: Matriz de transferencia, no entiendo la notación

Gracias por ayudarme.

De nada, a ver si no te lio.

En realidad yo también estoy estudiando óptica con la aproximación paraxial. Ahora entiendo que en esta aproximación, hay una relación lineal entre $\theta _i$, $x_i$ , con i=1,2. Luego es posible trabajar con matrices.

Exacto.

Conociendo la posición de entrada al sistema óptico de un rayo de luz, con respecto al eje óptico y conociendo el ángulo con respecto a dicho eje, es posible determinar cómo saldrá del sistema óptico (he leído que está determinado por 2 planos y no puntos como creo entender de tu post).

Sí, la matriz se refiere a los planos.
Tienes toda la razón.
No sé si has hecho alguna vez un trazado de rayos.
Puesto que el sistema tiene simetría de revolución, el caso se reduce a un dibujo plano
Cada parámetro tiene una interpretación muy fácil.

Más precisamente, se tiene que $x_2=Ax_1 + B \theta _1$ y $\theta _2 = Cx_2 + D \theta _1$. Ahora entiendo la notación de wikipedia. Despejan A, B, C y D de las 2 ecuaciones que acabo de dar, y ponen $\theta _1 =0$ en 2 casos (por la aproximación paraxial) y $x_1=0$. Luego se puede encontrar los valores de wikipedia. Sin embargo, no lo logro hacer para el coeficiente D de la matrix de transferencia. Tenemos que $D=\frac{\theta _2 - Cx_2}{\theta _1}$. Según wikipedia, ponen $x_1=0$ y tienen que $D=\frac{\theta _2}{\theta _1}$. ¿Cómo es esto? No entiendo por qué es cierto esto. Alguien me puede explicar esto? Todo está bien para los otros 3 coeficientes de la matriz, los valores coinciden con los que calculo.

El sistema lineal - dos ecuaciones - es el tú has puesto :
$x_2=Ax_1 + B \theta _1$
$\theta _2 = Cx_1 + D \theta _1$

Ahora vamos a suponer que tenemos dos puntos conjugados O - objeto - y O' - imagen - sobre el eje
por lo cual $x_1=0$ y $x_2=0$
La segunda ecuación te dice que
$\theta_2 = D \theta_1$
esto es
$D=\frac{x_2}{x_1}$
y D recibe el nombre de aumento angular - axial - creo.

Si usas la primera ecuación tienes que
$0= 0 + B \theta _1$ $\forall \theta _1$ y te da una propiedad interesante
que si la matriz se refiere a planos conjugados - plano objeto y plano imagen - B es idénticamente 0

Si ahora eliges un rayo que entre en el sistema óptico paralelamente al eje de colimación
ese rayo acaba en el foco imagen del sistema - un punto situado a $x_2=0$ y a una distancia f' del plano principal imagen
$\theta _1=0$
$\theta _2 = Cx_1 + D 0$
si haces el dibujo verás que $\frac{1}{C}=f'=\frac{x_1}{\theta_2}$

El elemento que queda es el aumento lateral del sistema
$A=\frac{x_2}{x_1}$ es lo que aumenta de tamaño la imagen.

Saludos.

AÑADIDO: Ya he corregido el error yo también

[arbolis87]

Re: Matriz de transferencia, no entiendo la notación

Acabo de darme cuenta de que hice un error, por eso no me daba el D. Es $\theta _2 = x_1 C + D\theta _1$. Luego puedo encontrar el D. Muchas gracias por toda la explicación, voy a dibujar ahora!