1r ciclo duda problemas

[MIMOSA]

hola, en mi curso de optica estamos viendo pues ya saben a la luz como una onda, por tal motivo pues estamos estudiando a las ondas un poco.
me dejaron los siguientes problemas pero no se si mi respuesta sea correcta.
1.- si la relacion de dispersion en un medio es w=ak^{2 , calcular la velocidad de fase y la de grupo.
segun yo, la velocidad de fase sabemos que es v=w/k, sustituyendo v=ak
y la velocidad de grupo es la derivada de w con respecto a k, entonces
vg =2w{k}^{3 } . pero tengo una duda en la primera relacion de v=w/k, no se supone que w era la velocidad angular?. esa es mi duda
2.- demostrar que vg =v-lambda {dv/ d lambda } .
segun yop, jeje sabemos que la velocidad de grupo es la derivada de w con respecto a k, pero w=vk, usando regla de la cadena me queda que la velocidad de grupo es v+k\frac{dv}{dk } luego sabemos que k=2pi/lambda , pero no se bien como usar esto para llegar a lo que me piden( mejor dicho sustitui la relacion de k, y tambien vi que v=w/k=2piw/\lambda ) pero no me salio jeje.
3.- me dan funcionmes de una y me preguntan cual es una ona viajera, me dieron las funciones
f(x,t)=Asen(ax^2-bt),
f(x,t)=exp(ax^2 + bt^2-2abtx)
f(x,t)= A sen2pi(x/a+t/b)^2
f(x,t)=Acos^2 (2pi(t-x))
suo la ecuacion de onda, es decir saco segundas deriavdas con respecto a x y t, pero al sustutuir no veo algo que se cancele con el 1/c^2, segun yo es como trartar de poner lo de adentro de la kx-wt, asi se quien k y w no? y se puede sacar la velocidad de propagacion, mmm...ay no se si me doy a entender; otra pregunta en este caso que hay exponenccial como se que en que direccion de propagacion va???
espero me puedan ayudar y muchas gracias por su apoyo.¡¡¡¡¡¡¡

[GNzcuber]

Re: duda problemas

Hola MIMOSA,

Para que te salgan las fórmulas debes escribirlas entre [te×] [/tex](la primera también es una equis, pero si no la escribo así desaparecerá :P).

1. Como tienes la relación $\dst \omega=a\cdot k^2$ y sabes que la velocidad de fase es $\dst v_f=\frac{\omega}{k}$, veo bien tu resultado: $\dst v_f=a\cdot k$. Para la velocidad de grupo debes, como dices, derivar respecto al número de onda:

$$\dst v_g=\frac{{d}\omega(k)}{{d}k}=\frac{{d}(a\cdot k^2)}{{d}k}=2a\cdot k$$

No veo cómo has obtenido ese resultado.

2. Reescribiré tu demostración:

$$\dst v_g=\frac{{d}\omega}{{d}k}=\frac{{d}(v\cdot k)}{{d}k}=v\frac{{d}k}{{d}k}+k\frac{{d}v}{{d}k}=v+\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)\left(\frac{{d}v}{{d}\lambda}\frac{{d}\lambda}{{d}k}\right)$$

Ahora, pensemos en la relación $\dst k=\frac{2\pi}{\lambda}$ y derivemos respecto las componentes a cada miembro: $\dst {d}k=-\frac{2\pi}{\lambda^2}{d}\lambda$. Por lo tanto, despejando tenemos: $\dst \frac{{d}\lambda}{{d}k}=-\frac{\lambda^2}{2\pi}$.
Sustituimos este resultado en la ecuación anterior y tendremos lo que queríamos:

$$\dst v_g=v-\lambda\frac{{d}v}{{d}\lambda}$$

3. Para ésta lo que haces está bien, aunque no tiene por qué eliminarse esa constante. La relación es:

$$\dst \frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}$$

.

Para saber hacia qué lado va la onda aquí tienes material. Lo que importa es ver la relación de signos de la fase.

¡Saludos!

[MIMOSA]

Re: duda problemas

o ya¡¡ perdon en el dos me equivoque al derivar jeje, pero en el tres sigo atorada con los otras funciones que tienen seno y cos, te digo que es lo que hice aver si ando bien.
en la funcion de f(x,t) = Asen (ax^2 -bt), no se como poner todo de la forma (kx-wt), lo que veo es que
ax^2 - bt =(ax-(bt)^1/2)(ax+(bt)^1/2) y y hasta alli me quede, jeje no se si haya alguna propiedad trigonometrica qe me ayude.
en la funcion f(x,t)= exp(-(ax^2 +bt^2 -2abtx) segun yo le faltan los cuadrados a a y b, sino no se puede simplificar la expresion, si le pongo los cuadrados a a y b la exp queda como exp(ax-bt)^2. saco derivadas y sustituyo en la ecuacion de onda. al final me queda que a^2=(b/c)^2, segun yo ax-bt tiene la forma de kx-wt, entonces k=a y w=b; y sabemos que k=w/c, por lo tanto la expresion anterior queda a=b>/c, que por defincion sabemos que asi es y fin. jeje en esta funcion no tengo idea en que direccion se propaga la
onda
en la funcion f(x,t)=Asen2pi(x/a+t/b)^2, se me ocurrio sacar 1/ab y me qudea 2pi/((ab)^2)*(ax+bt)^2, esto ya se parece a kx -wt, pero al aplicar la ecuacion de onda no me sale nada bonito, tal vez alla me equivoacdo en algo.
en la funcion f(x,t)=A cos^2 2pi(t-x), me fijo en la siguientes propiedades trigonmetricas
cos(2c)=cos^2 (c)-sen^2(c) ahora sabemos que cos+sen= 1, elevo esto al cuadrado y despejo sen cuadrado y sustituyo en la primera identidad y me queda cos(2c)= cos^2(c)-1+cos^2(x)+2cos*sen este ultimo sumando es igual a sen(2c), sustiutyo y despejo cos^2(c) y me queda cos(2c)+sen(2c)1 todo sobre 2. y pues ya aasi se se puede derivar mas bonito, aunque me acabo de adr cuento que esto no era necesario puedo derivar directamente pero asi se me hiso mas facil, sustitui en la ecuacion yyy no me dio nada¿¿¿ jejeje creo que mi algebra nada muy mal ultimamente jeje gracias por su ayuda¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡arigato¡¡¡¡¡¡¡

[GNzcuber]

Re: duda problemas

Hola MIMOSA,

Tal y como tienes las funciones intenta derivarlas dos veces, una respecto al tiempo y otra respecto al espacio, si la relación se cumple es una onda viajera. No he visto en el enunciado que te pidieran el sentido de la onda. Fíjate que haces mal esto:

$$\dst ax^2-bt=(\sqrt{a}x-\sqrt{bt})(\sqrt{a}x+\sqrt{bt})\neq (ax-\sqrt{bt})(ax+\sqrt{bt})$$

En la que concluyes que $\dst a=k$ y $\dst b=\omega$ y cumplen la relación necesaria de una onda viajera, el sentido de propagación será positivo cuando los términos $\dst kx$ y $\dst\omega t$ tengan signos opuestos. Ésto ya lo menciono en el enlace que te puse.

Las funciones trigonométricas necesitan un argumento, porque $\dst \sin + \cos \neq 1$, es más, no es igual a nada. Luego, suponiendo que lo que has querido escribir es lo siguiente $\dst \sin(x)+\cos(x)=1$, nuevamente está mal, piensa en el teorema de Pitágoras. Luego, no me molestaré en seguir mucho el desarrollo porque ya será erróneo. Pero, además, también me cuesta algo entenderlo, mi nivel académico de Física es igual o inferior al tuyo, y para poder responder tuve que coger la Wikipedia y el libro para recordar los conceptos. Y por ello te pido, que al menos me facilites lo que quieres preguntar escribiendo con la menor cantidad de faltas ortográficas, resulta ser molesto leer y estar parándote por ellas, e intentar seguir las ecuaciones, interpretar lo que uno ha querido poner.

Por favor, intenta usar $\dst \LaTeX$, que no es nada difícil y el administrador se ha molestado en facilitar la escritura de las ecuaciones.

¡Saludos!

P.D.: No olvides que para el tercer ejercicio es sólo derivar dos veces la función y compararlas.