1r ciclo Difracción y polarizacion

[BACANALATOR]

Hola buenas noches a todos amantes de la física,

Tengo dificultades para hallar un apartado de un problema que no consigo entender bien. Les expongo el problema por si pueden echarme una mano:

Sean dos rendijas de anchura b contenidas en el plano {X,Z}, paralelas al eje Z y con sus centros situados en los puntos 1 (b,0,0) y 2 (-b,0,0). Sobre ellas inciden perpendicularmente dos ondas planas coherentes entre si, de longitude de onda \lambda y linealmente polarizadas en direcciones simetricas respecto al eje Z. Sobre la rendija 1 el campo electrico de la onda esta polarizado en la direccion (cos \alpha , 0 , sen\alpha ) y sobre la rendija 1, en la direccion (-cos \alpha ,0 , sen \alpha ). Sabiendo que la amplitud E del campo que crea una rendija situada en el origen de coordenadas sobre el punto (x,D,0) de una pantalla de observacion situada en el plano y= D es, en aproximacion de Fraunhoffer: E = Eo · (sen\beta /\beta ) ; \beta = (\pi / \lambda )· b· sen\theta , donde \theta es el angulo de difracción:
-Determinar la expresión de la distribución de la intensidad I (\theta ) de la difracción producida por las rendijas 1 y 2 ;

Bueno hasta aquí, tenéis alguna idea del planteamiento del problema es que al mezclarme polarización con difracción me he hecho un lío.
Muchas gracias a todo aquel que pueda ayudarme un poco.
Saludos

[BACANALATOR]

Re: Difracción y polarizacion

Hola, alguien me puede ayudar un poco con este problema? Me estoy poniendo nervioso porke no se por donde pillarlo, yo pienso k se han de sumar los dos campos creados en sendas rendijas: E1= Eo · cos (wt -ky) (cos alfa, 0, sen alfa) y E2= Eo·cos (wt- ky)·(-cos alfa, 0, sen alfa) que seria E total= Eo· 2sen alfa.
Una vez hecho esto no se seguir. Sabeis algo?
Saludos y muchas gracias

[GNzcuber]

Re: Difracción y polarizacion

Hola BACANALATOR,

Me ha costado bastante entenderlo, pero ya lo tengo algo más claro, sin embargo no sé si pueda ayudarte porque es un tema que he tocado poco y no he hecho ni teoría ni problemas de esta clase. Pero haré lo posible.

- Las ondas planas de amplitud $\dst E$, que se propagan por $\dst \mathrm{j}$, pasan a través de las rendijas orientadas según $\dst \mathrm{z}$ con la componente $\dst (0,0,\sin(\alpha))\mathrm{k}$.

- La difracción es la misma sin importar el número de rendijas que se usen en el experimento, sólo importa la obertura $\dst b$ de éstas. A su vez, si consideramos $\dst D$ lo suficientemente lejos, ya sabemos que las ondas incidentes son planas y tienen la misma amplitud, entonces podemos usar la difracción de Fraunhoffer.

$$\dst I=I_0\left(\frac{\dst \sin\left(\frac{1}{2}\phi\right)}{\dst \frac{1}{2}\phi}\right)^2, \quad con\,\,\, \phi=\frac{2\pi}{\lambda}b\sin(\theta)$$

- Por otra parte el diagrama de dos rendijas en las condiciones anteriores viene dado por:

$$\dst x_m=\frac{D\cdot \lambda}{2b'}m$$

Donde $\dst \phi$ es el desfase entre el primer foco puntual de una rendija y el último foco puntual de la última rendija, si la obertura de la rendija $\dst b$ es un múltiplo de la longitud de onda para un ángulo $\dst \theta$ (ángulo con el que se desvía una onda desde el máximo central hasta el punto $\dst (x,D,0)$. A pesar que las rendijas se encuentren a $\dst b'$ de dicho máximo central se lo puede considerar que el ángulo es el mismo para ambos y los rayos son aproximadamente paralelos gracias a que $\dst D>>b,b'$) determinado, la intensidad en dicho punto es nula, aunque haya interferencia constructiva.

He decidido diferenciar entre la distancia de cada rendija al máximo central ($\dst b'$) y la obertura de las rendijas ($\dst b$) para una mayor comprensión, y si hay posibilidad de error verlos más fácilmente.

Con todo esto comenzaré por donde has comenzado, el diagrama de interferencias:

$$\dst \left.\begin{aligned}E_1=E_0\sin(\omega t-k\cdot x)\\ E_2=E_0\sin(\omega t-k\cdot x+\delta)\\ E'=E_1+E_2\end{aligned}\right\}E'=\overbrace{2E_0\cos\left(\frac{\delta}{2}\right)}^{E}\sin\left(\omega t-k\cdot x+\frac{\delta}{2}\right)$$

El máximo de intensidades es:

$$\dst \left.\begin{aligned}I_0\propto E_0^2\\ I\propto E^2\end{aligned}\right\} \frac{I}{I_0}=\frac{E^2}{E_0^2}\Rightarrow I=4I_0\cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right)$$

Conjuntamente con (1), el diagrama de difracción obtenemos el máximo de interferencia-difracción:

$$\dst I=4I_0\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{2}\phi\right)}{\frac{1}{2}\phi}\right)^2\cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right)$$

De aquí sólo te falta saber el desfase entre las ondas $\dst \delta$, que será igual a la diferencia de caminos:

$$\dst \delta=2\pi\frac{2b'\sin(\theta)}{\lambda},\quad \text{en todo momento puedes usar }:\, \tan(\theta)\approx \frac{x}{D}$$

Las fórmulas que has expuesto me suenan bastante, pero como difracción de Fraunhoffer tengo la anterior expuesta, si lo debes hacer con la otra no hay más que darse cuenta que $\dst \beta$ es mi $\dst \phi$, o eso supongo :P.

¡Saludos!

[BACANALATOR]

Re: Difracción y polarizacion

Hola GNZcuber,

Muchísimas gracias por tu respuesta. Me has puesto un poco de teoría sobre el tema no? He estado intentando aplicar lo que me has puesto al problema pero no se si lo he conseguido. Te expongo la solucion que he puesto, a ver si entre los dos lo acabamos de arreglar, no estoy nada seguro. Lo pongo:

Para una rendija imaginaria en el origen, sabemos que E = Eo· (sen B / B, con B = ( pi/lambda)· b· sen tecta como dice el enunciado.
Ahora el campo en rendija 1 esta polarizado segun u1= (cos alfa, 0, sen alfa) -> E1= E·cos (wt - ky)· (cos alfa, 0, sen alfa). En rendija 2 del mismo modo E2= E· cos (wt -ky)· (-cos alfa, 0, sen alfa).
Ahora sumando ambos, E1-2= E· 2·sen alfa.
Asi, en el punto (x,D,0), que es donde tiene lugar la distribucion de intensidad, el campo total, Et= E· 2· sen alfa· ( e^i· delta + e^-i·delta) = 2· sen alfa· 2 · cos delta, siendo delta = (2·pi/ lambda) · 2b · (x/D).

Asi Et= 4·Eo · sen B/B · sen alfa · cos delta -> I (tecta) = 16· Io · (senB/B)^2 · sen alfa^2 · cos delta^2;

Que te parece , creeis k es asi??
Saludos y muchas gracias.

[GNzcuber]

Re: Difracción y polarizacion

Hola,

Sean dos rendijas de anchura b contenidas en el plano {X,Z}, paralelas al eje Z y con sus centros situados en los puntos 1 (b,0,0) y 2 (-b,0,0).

Esto está claro, es de la forma que están distribuidos los elementos.

Sobre ellas inciden perpendicularmente dos ondas planas coherentes entre si, de longitude de onda \lambda y linealmente polarizadas en direcciones simetricas respecto al eje Z.

Ya que inciden perpendicularmente es porque se propagaban por el eje $\dst y$, y creo que no tiene sentido decir que se polariza en la dirección de la propagación. Por otra parte, nos dice que las ondas planas que llegan a las rendijas tienen simetría axial respecto del eje $\dst z$. Es como si actuase como "espejo", esa es la simetría, que luego la pone explícitamente.

Sobre la rendija 1 el campo electrico de la onda esta polarizado en la direccion (cos \alpha , 0 , sen\alpha ) y sobre la rendija 1, en la direccion (-cos \alpha ,0 , sen \alpha ).

Si el módulo de la amplitud del campo eléctrico es $\dst E_0$ y éste incide con un cierto ángulo $\dst \alpha$ con respecto el eje $\dst x$, pasará la componente en $\dst z$ ¿Verdad? La componente en $\dst x$ "choca" o es absorbida por la placa.

A ver, imagínate una recta vertical, ésta es una rendija, ahora superpone un segmento de recta con inclinación alfa respecto la horizontal, este es el vector campo eléctrico. Pero éste lo podemos dividir en dos, en una componente paralela al eje $\dst z$, que es la que atravesará, y la otra componente al eje de las abscisas, que por supuesto no lo hará. ¿Cuál es la amplitud de dichas componentes? Pues $\dst E_z=E_0\cdot\sin(\alpha)$, y $\dst E_x=E_0\cdot\cos(\alpha)$. ¿La suma de éstos es el módulo inicial? Afirmativo $\dst \sqrt{E_x^2+E_y^2+E_z^2}=\sqrt{[E_0\cdot \cos(\alpha)]^2+0^2+[E_0\cdot\sin(\alpha)]^2}=\sqrt{E^2_0\cdot [\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)]}=E_0$.

Para la segunda rendija igual. Ahora nos dice de qué manera es simétrica respecto al eje de las cotas (eje $\dst z$), no tengo herramientas sofisticadas para mostrártelo, pero los signos del teclado serán suficiente. Los puntos representarán el eje de las abscisas, la barra en el medio el eje de las cotas, y 1 y 2 las ondas 1 y 2 respectivamente:

-onda 1-eje z-onda 2-
......\......|....../.......

Sabiendo que la amplitud E del campo que crea una rendija situada en el origen de coordenadas sobre el punto (x,D,0) de una pantalla de observacion situada en el plano y= D es, en aproximacion de Fraunhoffer: E = Eo · (sen\beta /\beta ) ; \beta = (\pi / \lambda )· b· sen\theta , donde \theta es el angulo de difracción:

Para la aproximación de Fraunhoffer se deben considerar ondas planas (en este caso lo son), que tengan la mismo amplitud (ésto ya te lo he dicho, como sólo pasa la componente $\dst z$ y que, tanto para la onda 1 y 2 es la misma, porque en ambas dicha componente es igual), y por último $\dst D>>b,b'$, esta condición se la debemos imponer nosotros, ya que no se dice explícitamente en el enunciado, pero al considerar aproximaciones de Fraunhoffer se dice implícitamente.

Que nos digan que la amplitud del campo creada por una rendija en el origen de coordenadas es E (para nosotros $\dst E=E_0\cdot\sin(\alpha)$), quiere decirnos que una rendija aislada nos da como resultado en un punto (x,D,0) una amplitud E. Lo único que está diciendo es que cada rendija produce dicho campo, y como $\dst D>>b$ entonces el ángulo $\dst \theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{D}\right)$ es aproximadamente igual en el origen de coordenadas como del primer foco y el segundo al mismo punto.

Es decir, la distancia D es común para las tres rendijas, las dos reales y la imaginaria en el origen. Luego $\dst r_0\approx r_1\approx r_2\Rightarrow \theta=\mathrm{arcsin}\left(\frac{D}{r_0}\right)\approx \mathrm{arcsin}\left(\frac{D}{r_1}\right)\approx \mathrm{arcsin}\left(\frac{D}{r_2}\right)$.

Ahora escribiré la fórmula que das:

$$\dst E=E_0\cdot \frac{\sin(\beta)}{\beta},\quad \beta=\frac{\pi}{\lambda}b\sin(\theta)$$

Siendo $\dst \theta$ el ángulo de difracción... con el ángulo de difracción no sé a qué te refieres exactamente.

El ángulo theta parece ser el desplazamiento desde algún foco (recordemos que están tan próximos que los podemos considerar com un único punto) respecto el máximo central (el que recorre x=0). Y beta parece ser el ángulo de desfase entre el primer foco puntual de una rendija y su cuarta parte ... pero no le veo sentido.

¿No será $\dst \beta=\frac{2\pi}{\lambda}2b\sin(\theta)$?

Y por último, la fórmula (1), te he dicho que me sonaba, pero no sabía de qué, y creo que es posible que sea la fórmula de la difracción para pocas rendijas, pero no la he encontrado. Si es para N rendijas, con N muy grande entonces es la fórmula que puse en mi primer mensaje.

¡Saludos!

[BACANALATOR]

Re: Difracción y polarizacion

Hola GNZcuber,

Muchas gracias por la respuesta, creo que al final he entendido tu razonamiento. Vamos a lo que importa que es la resolución del examen aplicando lo que me has dicho.

Veamos, como bien dices tal como se propagan las ondas son como has dicho, E = Eo· (sen B/B);

Asi calculando los campos Ez1= Eo·sen alfa, Ex1= Eo·cos alfa -> E1= Eo y E2= Eo.
Se han de sumar los dos campos y sale que E 1-2 = 2·Eo;

Ahora para hallar la distribucion de intensidad I ( tecta), El campo total es el campo creado por las dos rendijas por la desviacion de las dos rendijas teniendo en cuenta el campo en el origen de coordenadas.

Asi, Et= 2Eo · E·(e^i·delta + e^-i·delta) ; Ahora bien no se si conoces esta formula que acabo de poner pero es d ondas coherentes, un e^i·delta equivale a cos delta, es una desviacion de desfase, siempre se pone en funcion del desfase. Aqui lo hacemos para equivalga a la distancia entre las 2 rendijas que es 2b.

Un desfase delta normal es : delta = (2·pi/ lambda)· a· (x/D), siendo a= distancia entre rendijas, aqui seria a = 2b;

Dicho esto y volviendo a Et, Et= 2·Eo · E · 2· cos delta -> Et= 4·Eo· E · cos delta y de ahi sustituyendo la formula de E que te da el enunciado y calculando la intensidad como el cuadrado promedio del campo se halla la intensidad.

Creo que se realiza asi el problema, lo que me ha dejado un poco perplejo es que luego te pide particularizar la expresion para alfa = 45º y para alfa= 90º, como se haría???

Bueno GNZcuber, a ver si entre los dos lo logramos, como ves la resolución que te he puesto.
Muchas gracias por contestarme, saludos.

PD: Entiendes el otro problema que he puesto, voy a subirlo escaneado a ver si alguien lo entiende, saludos.

[GNzcuber]

Re: Difracción y polarizacion

Hola BACANALATOR,

No he dicho que se propagarán según $\dst E=E_0\cdot \left(\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right)$. Sinó que se propagarán según $\dst E_1=E\cdot \sin(\omega t-k\cdot x)$, con $\dst E=E_0\cdot\sin(\alpha)$, que es la parte del campo plarizado que logra pasar por las rendijas.

Asi calculando los campos Ez1= Eo·sen alfa, Ex1= Eo·cos alfa -> E1= Eo y E2= Eo.
Se han de sumar los dos campos y sale que E 1-2 = 2·Eo;

Cuando sumamos ambos campos es después de pasar por las rendijas, por lo tanto su suma será

$$\dst E_{1-2}=E_1+E_2=E_0\sin(\alpha)\cdot\left[\sin(\omega t-k\cdot x)+\sin(\omega t-k\cdot x+\delta)\right]=$$

$$\dst =\overbrace{2E_0\sin(\alpha)\cos\left(\frac{\delta}{2}\right)}^E\sin\left(\omega t-k\cdot x+\frac{\delta}{2}\right)$$

Antes no había tenido en cuenta que la amplitud máxima sería la polarizada. Aquí $\dst \delta$ es la diferencia de fases debido a la diferencia de recorridos: $\dst \delta=\frac{2\pi}{\lambda}a\sin(\theta)=\frac{2\pi}{\lambda}2b\left(\frac{x}{D}\right)$.

Asi, Et= 2Eo · E·(e^i·delta + e^-i·delta) ; Ahora bien no se si conoces esta formula que acabo de poner pero es d ondas coherentes, un e^i·delta equivale a cos delta, es una desviacion de desfase, siempre se pone en funcion del desfase. Aqui lo hacemos para equivalga a la distancia entre las 2 rendijas que es 2b.

Como conocerla, no del todo :P. Lo que puedo deducir es de donde vienen:

$$\dst e^{i\cdot\delta}=\cos(\delta)+i\cdot\sin(\delta)\Rightarrow e^{i\cdot\delta}+e^{-i\cdot\delta}=\cos(\delta)+i\cdot\sin(\delta)+\cos(\delta)-i\cdot\sin(\delta)=2\cos(\delta)$$

$$\dst\cos(\delta)=\frac{e^{i\cdot \delta}+e^{-i\cdot \delta}}{2}$$

Que más que nada parece ser el vínculo entre funciones trigonomericas e hiperbólicas:

$$\dst \mathrm{Ch}(i\cdot x)=\frac{e^{i\cdot x}+e^{-i\cdot x}}{2}=\cos(x)$$

Volviendo con la fórmula que has puesto $\dst E_t=2E_0\cdot E\left(e^{i\cdot\delta}+e^{-i\cdot \delta}\right)$. $\dst E_t$ es la amplitud del campo eléctrico total, $\dst E_0$ es la amplitud máxima de cada onda (¿Antes o después de ser polarizadas?), $\dst \delta$ es el desfase debido a la diferencia de caminos, pero ¿Qué es $\dst E$? Según parece es la que dices que pone el enunciado $\dst E=E_0\left(\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right)$. ¿Dices esa? Si es así, es porque es la que modula la amplitud del campo por difracción, al final nos quedaría (sólo usando dicha modulación en (1):

$$\dst E_t=2E_0\cdot\sin(\alpha)\cdot\cos\left(\frac{\delta}{2}\right)\left(\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right)\sin\left(\omega t-k\cdot x+\frac{\delta}{2}\right)$$

Y su intensidad es proporcional al cuadrado.

$$\dst I=4E_0^2\sin^2(\alpha)\cdot \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right)\left(\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right)^2$$

A un ángulo de $\dst \frac{\pi}{4}$ y $\dst \frac{\pi}{2}$. Tienes que calcular delta y beta:

$$\dst \delta=\frac{4\pi}{\lambda}b\sin(\theta)\quad \theta=\frac{\pi}{4}\, o\, \theta=\frac{\pi}{2}$$

$$\dst \beta=\frac{2\pi}{\lambda}b\sin(\theta)$$

Entonces:

$$\dst \theta=\frac{\pi}{2}\rightarrow\left\{\begin{aligned}\delta =\frac{4\pi}{\lambda}b\\ \beta=\frac{2\pi}{\lambda}b\end{aligned}\right\}$$

$$\dst \theta=\frac{\pi}{4}\rightarrow\left\{\begin{aligned}\delta=\frac{2\pi\sqrt{2}}{\lambda}b\\ \beta=\frac{\pi\sqrt{2}}{\lambda}b\end{aligned}\right\}$$

¿No tienes el valor de $\dst b$ ni $\lambda$?

¡Saludos!

[BACANALATOR]

Re: Difracción y polarizacion

Hola GNZCuber, muchísimas gracias por la respuesta, porque efectivamente tienes razón,la solución correcta es la que pones.

A las preguntas que me has hecho son todas afirmativas, lo que pregunta el enunciado es hallar la intensidad, la fórmula de la intensidad vamos.

Sería mucho pedir como sería la solución al final, después de esto, muchas gracias, te debo unas cuantas! jeje

[GNzcuber]

Re: Difracción y polarizacion

Hola GNZCuber, muchísimas gracias por la respuesta, porque efectivamente tienes razón,la solución correcta es la que pones.

¿Tenías el resultado final? Si es así y coincide me quedo tranquilo, mientras tanto, reitero, la fórmula $\dst E=E_0\left(\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right)$ me suena pero del que sí estoy seguro es que $\dst I=4I_0\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{2}\phi\right)}{\frac{1}{2}\phi}\right)^2\cos\left(\frac{1}{2}\delta\right)$ es la fórmula del diagrama interferencia-difracción para dos rendijas, lo estoy viendo de un libro, no muy bueno pero libro al fin.

A las preguntas que me has hecho son todas afirmativas, lo que pregunta el enunciado es hallar la intensidad, la fórmula de la intensidad vamos.

En mi último mensaje he hecho cuatro preguntas y sólo una de ellas era absoluta, es decir, que se podía contestar con un "sí" o un "no". :P

Sería mucho pedir como sería la solución al final, después de esto, muchas gracias, te debo unas cuantas! jeje

La fórmula final que me queda es la (4):

$$\dst \dst I=4E_0^2\sin^2(\alpha)\cdot \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right)\left(\frac{\sin(\beta)}{\beta}\right)^2 \quad \left\{\begin{aligned}\delta = \frac{2\pi}{\lambda}2b\sin(\theta)\\ \beta=\frac{2\pi}{\lambda}b\sin(\theta)\end{aligned}\right.$$

Usando la fórmula de la modulación que me has dado. ¿Es esa la respuesta?

¡Saludos!