Secundaria Fórmula de una onda

[Pepealej]

Me surge una duda a raiz de ver la fórmula de una onda escrita de forma diferente.

Yo aprendí de la siguiente forma: $A sin(wt\pm kx)$ (da igual si es seno, coseno o si hay o no hay desfase). Esta onda se deduce de $A sin(w(t \pm t'$)[/tex]

Sin embargo yo la he visto escrita de la siguiente forma: $A sin(kx\pm wt)$

El caso es que, a simple vista, no son lo mismo (creo) porque el seno del ángulo no es igual al seno del menos ángulo, y al sumarlas para obtener una onda estacionaria se obtienen cosas diferentes. ¿Qué ocurre aquí?

Gracias

[arivasm]

Re: Fórmula de una onda

La elección de una fase que avance o retroceda en el tiempo es arbitraria. De hecho, podemos retrotraer la cuestión al oscilador armónico, definido como proyección de un movimiento circular uniforme: tanto lo es si este último gira en un sentido como si lo hace en el contrario. Por fijar ideas imagínate dos partículas girando en sentidos opuestos sobre la misma circunferencia, de tal manera que una es la imagen especular de la otra respecto del eje Y. Su proyección Y será la misma, lo que significa que ambas pueden describir el mismo movimiento armónico.

En términos matemáticos, a la hora de describir un movimiento armónico tan válida es $A\sin (\theta _0+\omega t)$ como $A\sin (\phi _0-\omega t)$. Por supuesto, ambas fases iniciales serán diferentes. En concreto, serán suplementarias, es decir, cumplirán que $\theta _0=\pi -\phi _0$, pues $\sin (\pi-\phi _0+\omega t)=-\sin (-\phi _0+\omega t) = \sin (\phi _0-\omega t)$ (es decir, hacemos uso de $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ y de $\sin \beta =-\sin (-\beta )$).

Por supuesto, cuando se trata de superponer movimientos armónicos (u ondulatorios) lo que no podemos hacer es mezclar representaciones (pero eso mismo nos ocurre con la representación en seno o en coseno al usar una de las dos formas de la fase).

[Pepealej]

Re: Fórmula de una onda

Hola arivasm,

Entendí tu explicación, pero no era por ahí por donde yo quería llevar mi pregunta. Realmente mi duda surge a raíz de $kx$. Se supone que en una onda ese término indica si la onda se expande hacia de izquierda o hacia la derecha, ¿no es así? independientemente del signo de la velocidad angular que, como bien dijiste, da igual pues vienen a reflejar el mismo movimiento armónico.

Mi duda era que por qué se suelen escribir las ecuaciones de las dos formas diferentes que indiqué ($...sin(kx+wt)$ o $...sin(kx-wt)$. Se supone que esas dos ecuaciones de onda (están a medias, sólo puse la parte que me interesaba) son la misma. Sin embargo, las he visto escritas (en clases del MIT) y en Wikipedia como dos ecuaciones que indican si la onda se desplaza en un sentido o en otro. Supongo que sabes a lo que me refiero, ¿no? Tengo esa duda

¿Tú cómo lo haces? Eres licenciado en física, más idea que yo tendrás

Gracias!

[arivasm]

Re: Fórmula de una onda

No sé si habré entendido bien tu duda.

Lo primero que diré es que las ecuaciones $A\sin (kx-\omega t)$ y $A\sin (kx+\omega t)$ no son la misma, representan ondas que se propagan en sentidos opuestos.

Lo que determina el sentido de propagación de una onda armónica unidimensional no es k, sino la relación entre los signos de la parte espacial de la fase (kx) y la parte temporal (wt). Así, para una onda que se propague en el sentido positivo de las x, una posible descripción sinusoidal es $A\sin (kx-\omega t)$, y otra es $A\sin (\omega t-kx)$.

Para verlo podemos pensar del siguiente modo: si la onda se desplaza en el sentido positivo de la coordenada, la fase que corresponda a cierto x en un t determinado será la misma que corresponderá más tarde, en un t'>t, a un punto más alejado del origen, es decir, con x'>x. Eso es coherente con que kx-wt=kx'-wt' o, por supuesto, wt-kx=wt'-kx'.

Si la fase es de la forma kx+wt (o también -kx-wt) entonces la onda se propaga en el sentido negativo de x: la fase será la misma, si t aumenta, en puntos que tienen una x cada vez menor.

Sobre cuál de las dos formas es preferible, si $\sin (kx-\omega t)$ o $\sin (\omega t-kx)$, desde el punto de vista matemático no importa en absoluto, con lo que en principio es una cuestión de gustos (yo he visto casi tantas de una forma como de la otra). Puestos a elegir, personalmente me siento algo más cómodo si las fases aumentan con el tiempo (es decir, usando wt-kx).

No sé si con esto respondo a tu pregunta.