1r ciclo Ecuación Hermite-Gauss

[ZagZ]

Hola, estaba rehaciendo la solución de el haz Hermite-Gauss a la ecuación paraxial de Helmholtz, que es una versión modulada del haz gaussiano. Llego a la edp del haz, pero además llego a otra edp, pero que no esta contenida en la primera solución. Bueno, lo dejo a continuación
Ecuación paraxial de Helmholtz
$\nabla^{2}_{T}A-2ik \frac{\partial A}{\partial z}=0$
donde, $\nabla^{2}_{T}=\frac{ {\partial }^{ 2} } {{\partial x}^{ 2} }+\frac{{\partial}^{2 } }{{\partial y}^{2} }$
La amplitud modulada del haz Hermite-Gauss
$A\left( x,y,z \right) = X \left( {\sqrt{2}\frac{x}{W \left( z \right) } } \right) Y\left( {\sqrt{2}\frac{y}{W \left( z \right) } } \right) exp\left( i Z\left( z \right) \right) {A}_{G }$
Donde ${A}_{G }\left( x,y,z \right) = \frac{{A}_{ 1} }{q\left( z \right) } exp\left( -ik\frac{{x}^{ 2}+{y}^{2} }{2q\left( z \right) } \right)$ , la amplitud del haz gaussiano
$X,Y$ y $Z$ son funciones reales.
Llamando
$\frac{\partial }{\partial \lambda } = {\partial }_{\lambda }$
$X \left( {\sqrt{2}\frac{x}{W \left( z \right) } } \right) =X$ , lo mismo para Y y Z
Introduciendo $A\left( x,y,z \right)$ en la ec. paraxial de Helmholtz

$Yexp\left( iZ \right)\left( {A}_{G }{\partial }_{x }^{2 }X +2{\partial }_{x }{A}_{G }{\partial }_{x }X + X {\partial }_{x }^{2 } {A}_{G }\right)$ $+ Xexp\left( iZ \right)\left( {A}_{G }{\partial }_{y }^{2 }Y +2{\partial }_{y }{A}_{G }{\partial }_{y }Y + Y {\partial }_{y }^{2 } {A}_{G } \right)$$-2ikXYexp\left( iZ \right)\left({\partial }_{z }{A}_{G }+i{A}_{ G}{\partial }_{z }Z \right)=0$
Multiplicando por $\frac{1}{XY }exp\left( -iZ \right)$
y sabiendo que
${\partial }_{x }^{2 } {A}_{G }+ {\partial }_{y }^{2 } {A}_{G } -2ik{\partial }_{z }{A}_{G }=0$
es solución. La nueva ecuación será
$\frac{1}{X } \left({A}_{G }{\partial }_{x }^{2 }X +2{\partial }_{x }{A}_{G }{\partial }_{x }X \right)+\frac{1}{Y }{A}_{G }{\partial }_{y }^{2 }Y +2{\partial }_{y }\left( {A}_{G }{\partial }_{y }Y \right) +2k{A}_{ G}{\partial }_{z }Z=0$
Luego, haciendo un cambio de variable
$u=\sqrt{2}\frac{x}{W \left( z \right) }$
$v=\sqrt{2}\frac{y}{W \left( z \right) }$
luego multiplicando por $\frac{{W}^{2 } }{{A}_{G } }$, se llega a
$\frac{1}{X }\left( {\partial }_{u }^{2 }X -ik\frac{{W}^{2 } }{q }u{\partial }_{u }X \right) +\frac{1}{Y } \left( {\partial }_{v }^{2 }Y -ik\frac{{W}^{2 } }{q }v{\partial }_{v }Y \right) +k{W}^{2 } {\partial }_{z }Z=0$
y Reemplazando q
$\frac{1}{q\left( z \right) } = \frac{1}{R\left( z \right) }-i\frac{\lambda }{\pi {W}^{2 } }$ y con $k=\frac{2\pi }{\lambda }$
tenemos finalmente,
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La solución a la parte real son los polinomios de Hermite, que es lo que andaba buscando y que sale en los libros como la única solución. La parte imaginaria su solución es simple , pero no esta contenida en la solución de la parte real. Por lo tanto, hay me entra la duda que porque solo los polinomios de Hermite son solución y no esta incluida la solución de la parte imaginaria. Saludos