Secundaria ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

[arivasm]

Para alumnos de 2º de bachillerato y a quien le apetezca jugar.

No es una pregunta. Sino un reto. La versión en Óptica de los juegos de ingenio.

Pues eso: hágase un modelo que permita estimar las dioptrías de una lente de gafas (en este caso divergente) a partir del resultado de una fotografía como la siguiente.

Aplíquese a esta chica miope, pero bella (si alguien quiere comprobarlo que le "quite las gafas", por ejemplo estirando con Gimp la imagen de sus ojos):

La regla de juego es la siguiente: hay que usar como datos iniciales la proporción entre la anchura aparente del rostro en la fotografía y la anchura real, así como una valor estimado para la distancia entre el ojo y la lente. Supóngase que la fotografía se tomó desde una distancia bastante mayor que esta última.


No es un problema difícil... Quizá la dificultad esté en justificar algunas aproximaciones.

Aviso: durante una temporada suele quedar cierta tendencia a jugar a estimarle las dioptrías a los amigos, familiares, conocidos, vecinos... con solo mirarles a la cara (por supuesto, con tal de que lleven las gafas puestas).

[sater]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

jajajajajaja me encantas arivasm, eres el Walter Lewin español. Tus clases tienen que ser la leche. Ahora no tengo tiempo porque estoy lleno de finales pero prometo hacerlo por mi cuenta sin mirar las respuestas que se den!

[arivasm]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Me he reservado el agradecimiento a sater por su (inmerecido) cumplido para que el hilo se mantuviese "desafiante"... Pero veo que sólo tenemos la promesa de nuestro amigo, quien, me da la sensación, da de lleno en el clavo: es mala época para estos retos. Bueno, o no tan mala... ¿acaso no vendrá mal repasar algo de Óptica para la prueba de acceso a la universidad? Claro que si estás en plena lucha con la Filosofía, la Historia y el pastel de Lenguas...

Para los que tengan prisa, les voy a precocinar un dibujo. En él he dibujado los rayos y la formación de la imagen sólo para repasar y recordar que una lente divergente siempre forma una imagen virtual. También he exagerado algunas distancias, para que se pueda manejar mejor la figura.

L representa la lente. Como vemos, las distancias objeto e imagen (usaré una prima para indicar todo lo que se refiera a la imagen) están precedidas de un signo menos pues, con un criterio izquierda-derecha, serán negativas. P representa el plano contra el cual se proyecta lo que ve la cámara, por supuesto si ésta no tiene un sistema óptico que distorsione(*).

(*) La inmensíiiiiiiiisma mayoría de las cámaras distorsionan deliberadamente las imágenes que toman: usualmente son objetivos angulares (el extremo de éstos son los llamados "ojos de pez"). Ello es así por varias razones que se resumen en la preferencia de los usuarios: entran más cosas en la foto y, como consecuencia, se notan menos los efectos debidos a los inevitables temblores del pulso (pero a cambio nos hace narizotas si nos fotografían desde demasiado cerca).

P representa un plano contra el que se proyecta la imagen que ve la cámara. Por supuesto, en la realidad está dentro de ésta (sería la película o el CCD) y no fuera, como aquí. Pero lo importante es el hecho de que la fotografía es el resultado de una proyección, y que como desconocemos el lugar exacto donde está el plano (y menos aún dónde convergerían las líneas que aquí se han pintado inocentemente coincidiendo en la lente de la cámara) lo único que podremos manejar es la proporción $h'/h$.

Otro dato que nos permite el enunciado es la distancia objeto, $-s$ (es decir, la distancia ojo-gafa, que yo estimo en unos 2,5 cm). Como nuestro objetivo es la potencia, y ésta resulta de la ecuación de las lentes delgadas (a pesar de lo que uno piensa inmediatamente viendo las gafas de la chica)

$$\dst P=\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}=\frac{-1}{-s'}+\frac{1}{-s}$$

está claro que lo que nos falta es encontrar un valor para $-s'$.

El juego entonces está en encontrar una expresión aproximada para $-s'$, que la relacione con $-s$ y con $h'/h$, si se supone que $d\gg -s$.

Venga, que es una tontería!! Después, si queremos nos liamos con qué cambiará si no se puede aceptar esa aproximación. Pero si es válida, la respuesta es un juego de niños! (que hayan estudiado un mínimo de Óptica y que se manejen mínimamente con la geometría).

Nos vemos (aunque sea con gafas miopes).

[Turing]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Hola!

No controlo casi nada el tema, pero no me llamarán cobarde por no intentarlo! (jaja)

Aplicando la fórmula de Gauss $\dst P = \frac{1}{f}$ y del aumento para una lente delgada [FONT=arial black]$\dst A= \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}$[/FONT]

Y aproximo que $\dst y' = h$ ; $y= h + h'$

Substituyendo:

$\dst -s' = \frac{y'}{y} s = (\frac{h}{h+h'}) s = (1 + \frac{h}{h'}) s$

$\dst P = \frac{-1}{(1+\frac{h}{h'})s}+ \frac{1}{-s}$

No seáis duros conmigo... Un saludo.

[arivasm]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Y aproximo que $\dst y' = h$ ; $y= h + h'$

Me temo que esta aproximación no es correcta. Claramente el tamaño de la imagen será diferente del que ocupará en la película fotográfica! (o el plano que corresponda a ésta una vez ampliada). La segunda tampoco es correcta.

¡Siga intentándolo!

Pista: hay que usar una expresión para las lentes delgadas y ciertos descubrimientos que se hicieron en la antigua Grecia...

[Turing]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Hola!

Vuelvo a la carga.

Si supongo que el punto P está a $\dst \frac{d}{2}$...

Puedo decir que:

$\dst {\tan\alpha}_{1} = \frac{h'}{d/2}$

$\dst {\tan\alpha}_{1} = \frac{y'}{d+s'}$

Donde ${\tan\alpha}_{1} = {\tan\alpha}_{1}$ y despejando nos queda

$\dst y' = \frac{(d + s')h'}{2d}$

Efectuando el mismo proceso anterior

$\dst {\tan\alpha}_{2} = \frac{h}{d/2}$

$\dst {\tan\alpha}_{2} = \frac{y}{d+s}$

Donde ${\tan\alpha}_{2} = {\tan\alpha}_{2}$

$\dst y= \frac{(d+s')h}{2d}$

Y sabiendo que $\dst \frac{y'}{y}= -\frac{s'}{s}$

$\dst -s' = \frac{y'}{y}s = \frac{(d+s')h'}{(d+s)h} s$

Solo nos quedaría substituir en P.

PD: Demasiado lío para ser errónea (lo más probable) la consideración de la posición del objetivo...

[arivasm]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Bien, bien... Has dado en el clavo en lo que a camino de cálculo se refiere

Antes de nada: ¿estás usando el mismo criterio de signos que yo, de izquierda-derecha? Si es así hay que arreglar algunas cosas. Si no... tendría que revisarlo.

Por ejemplo, la distancia objeto-cámara no es $d+s$, sino $d-s$ por el diferente criterio de signo para ambas cantidades: $d$ lo manejamos directamente como una cantidad positiva, sin criterio alguno. En cambio, para $s$ estamos manejando el criterio que nos impone la ecuación de las lentes delgadas.

Con la imagen nos sucede lo mismo. Me temo que incluso con un criterio de signos real-virtual la expresión correspondiente estaría incorrecta.

Otra cosa es la expresión para el aumento lateral: con el criterio de signos izquierda-derecha, la expresión correcta es $\dst \frac{y'}{y}=\frac{s'}{s}$.

Por último, en la última fórmula que has escrito, una vez arreglado lo anterior, tendríamos la relación buscada entre $s'$ y $s$, con lo que sólo faltaría llevarla a la ecuación de la lente para tener resuelto el problema.

Pero antes, haz la aproximación de que $d$ es mucho mayor que las distancias objeto e imagen. Lo puedes hacer ya directamente en la fórmula final que pones (una vez arreglada).

Añado: se me olvidaba! No hace falta que pongas P a medio camino, las relaciones que encuentras son independientes de la distancia a la que esté de la lente. En el fondo, lo que usas es el teorema de Thales!

[Turing]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Vale! Entonces queda algo tal que:

$\dst s' = \frac{y'}{y}s = \frac{(d-s')h'}{(d-s)h} s$

Pero como $d \gg -s$

$\dst s'= \frac{d h'}{d h}s = \frac{h'}{h} s$

Y solo queda sustituir en

$\dst P=\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}=\frac{-1}{-s'}+\frac{1}{-s} = \frac{1}{\frac{h'}{h}s}+\frac{1}{-s}$

Ahora mejor?

[arivasm]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Premio!

Pongámoslo algo más bonito y procedamos a hacer números. Para la fórmula final usaré $|s|=-s$, pues queda algo más elegante. También llamaré $M=h'/h$.

$$\dst P\approx-\frac{1}{|s|}\frac{1-M}{M}$$

Si estimamos, como dije antes, para la distancia ojo-gafa en unos 2,5 cm, la fórmula anterior tomará la forma

$$\dst P\approx -40\frac{1-M}{M}\,[\rm D]$$

Y ahora con la chica: midiendo en la foto encuentro un M de aproximadamente 0,4 en ambos ojos. Llevando esto a la fórmula anterior nos sale la friolera de -60 D!

Aclararé que esa foto la encontré en la red hace mucho en algo así como un club de miopes (que ahora no soy capaz de volver a encontrar! )

Nuevo reto: ¿Cómo cambiará este resultado si debemos tener en cuenta que $d$ podría no ser despreciable frente a las distancias objeto e imagen?. Es decir, (2) ¿subestima o sobreestima el valor absoluto de la potencia de la lente?

[Turing]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Si no se puede aproximar el valor tenemos que

$\dst s' = \frac{y'}{y}s = \frac{(d-s')h'}{(d-s)h} s$

pero sabemos que $\left\vert{} s\right\vert{} > \left\vert{} s'\right\vert{}$ por lo que el denominador será menor (pues h será multiplicada por un numero menor en comparación al de h') y, en consecuencia, si $\dst M = \frac{h'}{h}$ provocará que la potencia sea sobrestimada.

PD: No sé si se me entiende.

[arivasm]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Mmmm. Yo llego a otra conclusión!

Como esta parte está fuera del nivel de bachillerato, permíteme que cuente mi razonamiento.

Despejando $s'$ en la expresión que has puesto, que es correcta,

$\dst \frac{s'}{s}=M\frac{d-s'}{d-s}$

donde, como antes, llamo $M=h'/h$, tenemos que

$\dst s'=\frac{Md}{d-(1-M)s}s$

Reordenando un poco, y teniendo en cuenta que $s<0$ tenemos

$$M_{real}=\dst \frac{s'}{s}=\frac{M}{1+(1-M)\frac{|s|}{d}}$$

donde esta $M_{real}$ es la que debería estar en (2) y (3) pues es el aumento lateral

$\dst M_{real}=\frac{y'}{y}=\frac{s'}{s}$

Jugando un poco más con (4) tenemos que

$$\dst \frac{1-M_{real}}{M_{real}}=\frac{1-M}{M}\left(1+\frac{|s|}{d}\right)$$

con lo que (2) debería ser

$$\dst P\approx -\frac{1}{|s|}\,\frac{1-M}{M}\left(1+\frac{|s|}{d}\right)$$

que como vemos es mayor que la que proporcionaba (2), lo que significa que esa expresión subestimaba la potencia!

De todos modos, también vemos que puesto que $|s|$ será del orden de cm mientras que $d$ será del orden de m, el factor de corrección que habrá que aplicar a la potencia estimada con (2) o (3) será realmente pequeño, de manera que tampoco será tan mala nuestra subestimación...

---ooo---

Pero, ¡unas lentes de -60 D son una barbaridad! Vale que sean gafas de "culo de vaso", pero es que esa cantidad implica una longitud focal de apenas 2 cm! Si jugamos con la ecuación del constructor de lentes, que pondré aquí para nuestros amigos que necesiten repasarla

$\dst P=\left(\frac{n_{lente}}{n_{medio}}-1\right)\,\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$

y ponemos un índice de refracción para la lente de los bien altos, como 1,74 (y 1 para el aire), resulta que el radio de curvatura para una lente bicóncava simétrica (es decir, con $R_1=R$ y $R_2=-R$) de -60 D nos sale de 2,5 cm.

No tiene pinta de que ése (o uno mayor!) sea el radio de curvatura de las gafas de esa chica! ¿Qué habrá fallado?

Aquí entra en juego el otro elemento de nuestra fórmula: la estimación para $|s|$.

2,5 cm es un valor bastante razonable para la distancia ojo-lente. Pero el problema está en que cuando vemos una fotografía, usualmente no tenemos forma de comparar en la fotografía el tamaño del ojo con gafas con el que tendría sin ellas. Lo que se suele hacer es medir aproximadamente la distancia nariz-pelo, o nariz-oreja* o cualquier otra cosa que se vea dentro y fuera de la gafa.

(*)Yo mido la distancia comienzo de la lente, junto a la nariz. Aquí pongo "nariz" para acabar antes.

Pero, por la forma del rostro, está claro los 2,5 cm de la estimación de $|s|$ no se corresponderán nada bien con la distancia objeto "media", y no te digo nada si incluimos las orejas o el pelo! Por eso, en realidad no suelo manejar esos 2,5 cm, sino un valor mayor, sobre unos 5 cm(**), con lo que (3) quedaría de esta manera

$$\dst P\approx -20\frac{M}{1-M}\,[\rm D]$$

y la chica de la foto tendría unas gafas cuya potencia se estimaría en unas -30 D, que también le llega.

(**) Por ejemplo, las orejas están a unos 10 cm del plano de las gafas.

[Turing]

Re: ¿Cuántas dioptrías tienen las gafas de esta chica?

Vaya, increíble. Tienes razón. Pero creo que ha sido un error de redacción mío. Quería decir que la nueva expresión (la que pones tu como 6, que no he sabido como llegar) sobrestimaba la potencia. Por lo tanto, (2) la subestima.

A ver si poco a poco consigo ver los problemas de una forma más... "matemática". Gracias por este resplandor de sabiduría Arivasm.