Secundaria Lentes - dioptría esférica

[luiseduardo]

Una lente biconvexa delgada de índice de refracción igual a 3/2 se encuentra horizontal en un espejo plano, como se muestra en la figura. El espacio entre la lente y el espejo se llena con agua de índice de refracción igual a 4/3. Se puede ver cuando un objeto se coloca 15 cm y en el eje principal, la imagen cae en la misma posición. Extracción del agua y la colocación de otro líquido (hasta la misma altura), la imagen de objeto coincide con una distancia de 25 cm. Calcular el índice de refracción de este otro líquido.



Answer: n = 1,6

[arivasm]

Re: Lentes - dioptría esférica

Bonito (y complicado) ejercicio!

En primer lugar, podemos prescindir del espejo y considerar el sistema como si fuesen dos lentes iguales, pegadas, que tienen un líquido entre ellas (agua en el primer caso, y en el segundo el líquido cuyo $n_l$ debemos calcular).

El dato de que la imagen se forma en el mismo lugar donde está el objeto nos permite calcular la potencia del sistema en cada caso: usando la ecuación de las lentes delgadas debes encontrar que dicha potencia es

$$\dst P=\frac{2}{|s|}$$

de manera que con el agua es $P_{agua}=\frac{20}{3}\,\rm D$ y con el líquido es $P_{liq}=4\,\rm D$.

Nuestro problema es entonces encontrar la expresión para la potencia de un sistema de dos lentes delgadas biconvexas pegadas y entre las cuales hay un líquido de índice de refracción $n_l$, mientras que fuera de ellas hay aire ($n=1$). Voy a llamar $R$ al radio de curvatura (en valor absoluto) de las caras de la lente y $n_v$ al índice de refracción del material de la lente (escribo el subíndice "v" por "vidrio").

Recordemos que en un dioptrio esférico de radio $r$ que separa dos medios de índices $n_1$ y $n_2$ se cumple (con un criterio de signos izquierda-derecha) la relación

$$\dst \frac{n_2}{s'}-\frac{n_1}{s}=\frac{n_2-n_1}{r}$$

donde uso $s'$ para referirme a la distancia imagen y $s$ para la distancia objeto.

Tendremos que aplicar esta expresión a cada una de las cuatro refracciones que se producen en las superficies esféricas de radio $R$, teniendo en cuenta que el centro de la primera estará a la derecha, el de la segunda a la izquierda, el de la tercera a la derecha y el de la cuarta a la izquierda.

En la primera refracción tenemos que (2) toma la forma

$$\dst \frac{n_v}{{s_1}'}-\frac{1}{s}=\frac{n_v-1}{R}$$

En la segunda la distancia objeto es la misma que la distancia imagen de la refracción anterior, es decir

$$\dst \frac{n_l}{{s_2}'}-\frac{n_v}{{s_1}'}=\frac{n_l-n_v}{-R}=\frac{n_v-n_l}{R}$$

donde he tenido en cuenta que la superficie de la segunda refracción tiene, con el convenio de signos, un radio de curvatura negativo e igual a $-R$.

Si sumamos miembro (3) y (4) tenemos

$$\dst \frac{n_l}{{s_2}'}-\frac{1}{s}=\frac{2n_v-n_l-1}{R}$$

En la tercera refracción la distancia objeto es la misma que la distancia imagen de la segunda refracción, luego

$$\dst \frac{n_v}{{s_3}'}-\frac{n_l}{{s_2}'}=\frac{n_v-n_l}{R}$$

Si la sumamos miembro a miembro con (5) nos queda

$$\dst \frac{n_v}{{s_3}'}-\frac{1}{s}=\frac{3n_v-2n_l-1}{R}$$

En la cuarta refracción la distancia objeto es la misma que la distancia imagen de la tercera refracción, con lo que ahora

$$\dst \frac{1}{s'}-\frac{n_v}{{s_3}'}=\frac{1-n_v}{-R}=\frac{n_v-1}{R}$$

donde hemos tenido en cuenta, como antes, que ahora el centro de curvatura está a la izquierda, y por eso el radio es $-R$.

Si la sumamos miembro a miembro con (6) nos queda

$$\dst \frac{1}{{s}'}-\frac{1}{s}=\frac{4n_v-2n_l-2}{R}=\frac{2}{R}(2n_v-n_l-1)$$

Si lo aplicas al caso en que hay agua tienes

$$\dst P_{agua}=\frac{2}{R}(2n_v-n_{agua}-1)$$

y con eso calculas el valor de $2/R$.

Después aplicas (8) al caso en que hay el líquido incógnita y así obtienes su índice de refracción.

[luiseduardo]

Re: Lentes - dioptría esférica

Hola,
" El dato de que la imagen se forma en el mismo lugar donde está el objeto nos permite calcular la potencia del sistema en cada caso: usando la ecuación de las lentes delgadas debes encontrar que dicha potencia es .. "

El "potencia" tiene otro significado en portugués, ¿Podría explicar con más detalle lo que hizo en este caso?

[arivasm]

Re: Lentes - dioptría esférica

Potencia (creo que en portugués es vergência) es el inverso de la longitud focal, $P=1/f$. La ecuación de las lentes delgadas, si se usa un criterio izquierda-derecha para los signos es

$\dst P=\frac{1}{f}=\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}$

En este caso, la distancia imagen es igual a la distancia objeto. En realidad, con el criterio de signos izquierda derecha la distancia objeto es negativa $s=-|s|$, mientras que la distancia imagen sería positiva. Por eso $s'=-s=|s|$. Al substituir en la fórmula anterior queda $P=2/|s|$.

Con un criterio real-virtual será

$\dst P=\frac{1}{f}=\frac{1}{s'}+\frac{1}{s}$

y entonces ambas distancias serán positivas e iguales, $s'=s>0$ y, por supuesto, de nuevo $P=2/s$.

[arivasm]

Re: Lentes - dioptría esférica

Revivo este hilo porque me acordé de él y me di cuenta de que hay una forma más sencilla de resolverlo que la que puse en su momento, en concreto en lo que se refiere a la potencia del sistema.

El espejo simplemente duplica el sistema, de manera que éste equivale a tres lentes contiguas: la biconvexa, una bicóncava del mismo radio constituida por el líquido (pues el líquido equivale a una planocóncava pegada a otra idéntica) y de nuevo la biconvexa. Llamando $n_v$ al índice de la lente y $n_l$ al del líquido, como la potencia de la lente es

$\dst P_v = (n_v-1)\frac{2}{R}$

y la de la lente líquida es

$\dst P_l=-(n_l-1) \frac{2}{R}$

la potencia del sistema es

$\dst P = 2P_v+P_l=(2n_v-n_l-1)\frac{2}{R}$

El resto continúa igual que antes.