Olimpiada Un haz de luz incide en media esfera

[arivasm]

Tomado de la I Olimpiada Iberoamericana de Física.

Una lente semiesférica de radio $R = 5\,\rm cm$ e índice de refracción $n = 1,52$ se encuentra en el aire y recibe sobre su cara plana un haz de luz cilíndrico cuya dirección de propagación es perpendicular a la cara plana y la cubre completamente (ver figura). Se definen como rayos marginales aquellos que emergen tangencialmente a la superficie curva de la lente. Se definen como rayos paraxiales aquellos que inciden muy próximos al eje óptico de la lente.

1. Determine el radio máximo del haz de rayos paralelos que se refractan en la cara esférica de la lente. NOTA: No se considere en este caso reflexiones secundarias.
2. Determine el radio mínimo del anillo de rayos paralelos al eje óptico que emergen de la lente paralelamente, en sentido contrario al de incidencia.
3. Halle la distancia a lo largo del eje óptico entre el punto donde concurren los rayos marginales y el punto donde concurren los rayos paraxiales .
4. Ahora se coloca una pantalla P a una distancia $x$ del centro de la esfera, de manera paralela a la superficie plana de la lente como se indica en la figura 2. Para $x$ mayores que la distancia focal de los rayos paraxiales determine el radio de la mancha luminosa sobre la pantalla en función de $x$.

[Richard R Richard]

Re: Un haz de luz incide en media esfera

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quiero ver si me sacudi el oxido mental

1) es el radio al cual la tangente de semiesfera coincide con el angulo critico de refraccion

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2) Los rayos salen paralelos en un radio igual al radio de la esfera multiplicado por el seno del opuesto al angulo critico


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3) distancia focal =$f= \frac R 2$

distancia = $d= |R cos(\theta)+ R tan(90-\theta) -\frac R 2|= 0.60 cm$

4) $r3= R tan(90-\theta) (x-\frac R 2) \to \forall x \geqslant \frac R 2$

[arivasm]

Re: Un haz de luz incide en media esfera

Coincido con el 1): $R/n$.

El 2) aún no lo he resuelto. Confieso que me cuesta entender el propio enunciado.

En 3) no estoy de acuerdo. La distancia focal que pones es la de un espejo esférico, no para un dioptio esférico.

Para los rayos marginales, teniendo en cuenta que el ángulo de incidencia es el límite, y entonces $\sin\theta=1/n$ y que el de refracción es 90º, entonces la distancia al centro del semicírculo para el punto en que dichos rayos cortan el eje óptico será $\dst R \frac{n}{\sqrt{n^2-1}}$. Por su parte, dicha distancia para los paraxiales encuentro una distancia $\dst R\frac{n}{n-1}$. De esta manera, la respuesta sería $\dst R \frac{n}{\sqrt{n-1}}\,\left(\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)$. Substituyendo obtengo 7,98 cm.

En 4) tampoco coincido. Entiendo que la mancha tendrá por radio el que corresponda a los rayos que salen de la lente con mayor ángulo respecto del eje óptico, que serán los que corresponden al ángulo crítico.

Como ya dije antes, dichos rayos cortan el eje a una distancia al centro del semicírculo igual a $d=\dst R \frac{n}{\sqrt{n^2-1}}$. Aplicando semejanza de triángulos, tenemos que $d$ es a $R/n$ como $x-d$ lo es al radio solicitado. De este modo, la respuesta sería $\dst \frac{\sqrt{n^2-1}}{n^2}x-\frac{R}{n}$. Poniendo valores sería 0,495 x - 3,29 cm.

Como siempre, con todas mis reservas por equivocarme, cosa que me sucede muy a menudo.

[Richard R Richard]

Re: Un haz de luz incide en media esfera

en el punto 3 y 4 si tengo mal la distancia focal.....no tengo tanto conocimiento de optica, busque cual era la distancia focal y luego pense que salia por geometria.


el punto 2 si te fijas bien no deberian salir rayos paralelos a la salida pues entrarian inclinados a la izquierda de la lente lo cual no lesta propuesto por el problema , pero si puede darse, por las refexiones internas de aquellos rayos que superan el agulo critico, entonces pense en que este radio puede darse cuando la diferencia de angulos entre la tangente de la esfera, y el 0° para salir pararlelos sean el de refraccion de salida.

[arivasm]

Re: Un haz de luz incide en media esfera

Sí tienes razón: se trataría de ver qué condiciones cumplen los rayos sufren reflexiones internas y emergen paralelamente al eje óptico. De todos modos, como se trata de que emerjan en sentido contrario del de incidencia, con dos reflexiones internas es obvio que el ángulo sería [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; con tres, la segunda debería ser en el centro del semicírculo*, pero ello no es posible, porque sólo se reflejarán hacia dicho punto rayos procedentes del mismo. Por tanto, habrá que investigar más reflexiones... Si nos vamos a cuatro está claro que si se producen sólo en la cara esférica entonces el anillo sale mayor que el de 45º, por lo que habrá que mirar reflexiones más complicadas.

*Si fuese en la propia cara esférica el radio será mayor que el caso anterior.

La verdad es que este análisis me da pereza

A ver si tú, u otros amigos del foro, tienen alguna idea mejor.

Por cierto, prometo poner cómo encontré los resultados de mi post anterior, por si he metido la pata.