Otras carreras indice de refraccion

[jahandre]

buenas tardes encontre este problema en la web y no he podido solucionarlo en el transcurso de la semana si alguien lo a visto o lo a hecho
agradeceria su colaboracion, debo encontrar el indice de refraccion del material del cilindro en terminos de R=el radio del cilindro y d=la distancia entre el rayo de insidencia y el rayo de salida.
adjunto una imagen del problema
gracias

[Breogan]

Re: indice de refraccion

Hola:

No me acuerdo mucho del tema pero voy a tratar de ayudar un poco. Agregue alguna cota adicional a tu dibujo, lo agrego:

Primero aplicas la ley de Snell al rayo entrante:

$\dst n_1 \ sen \alpha_1 = n_2 \ sen \alpha_2$

luego por trigonométrica resulta:

$\dst \alpha_2 = \theta$

y

$\dst sen \alpha_1 = \frac d{2R}$

y

$\dst tan \theta = \frac d {2 (L + R)}$

y por ultimo:

$\dst tan \alpha_1 = \frac d {2 L}$

Te queda un sistema de cinco ecuaciones con 7 incógnitas: $(n_1 \ , \ \alpha_1 \ ,n_2 \ , \ \alpha_2 \ , \theta \ , \ d \ , \ L )$, el cual por eliminación de variables se puede reducir a una ecuación con tres incógnitas.

Si consideramos n1 como dato o si fuera el caso del aire $n_1 \approx 1$ nos quedaría una ecuación con dos incógnitas, las cuales las podemos elegir de entre las 7 iniciales.

Creo!!

PD: En realidad como no lo hice hasta el final no se si se puede llegar a una expresión analítica para la solución del problema solo con estas ecuaciones, de no ser así hay que ver si existe alguna otra relación que pueda ayudar.

s.e.u.o.

Suerte

[arivasm]

Re: indice de refraccion

Creo que la cosa es más simple si se tiene en cuenta que $\alpha_2=\theta$ y que se puede aplicar el teorema del coseno para encontrar la distancia entre el punto de incidencia y el de reflexión interna, teniendo presente que junto con el centro forman un triángulo isósceles, dos de cuyos lados son el radio del cilindro.

Si llamamos $l$ a la distancia entre el punto de incidencia y el de reflexión interna, tenemos que $n_1\sin\alpha_1=n_2\sin\theta$ y por otra parte $\dst\frac{d}{2}=R\sin\alpha_1=l\sin\theta$, luego

$$\dst \frac{n_2}{n_1}=\frac{l}{R}$$

Como

$$\dst l^2=2R^2(1+\cos 2\theta)=4R^2(1-\sin^2\theta)=4R^2\left(1-\frac{n_1^2}{n_2^2}\sin^2\alpha_1\right)=4R^2-\frac{n_1^2}{n_2^2}d^2$$

finalmente, con (1), tenemos la ecuación

$$\frac{n_2^2}{n_1^2}=4-\frac{n_1^2}{n_2^2}\left(\frac{d}{R}\right)^2$$

Para poner más cómoda su resolución quizá convenga introducir las cantidades

$$n=\frac{n_2}{n_1}$$

y

$$\delta=\frac{d}{2R}$$

de modo que (3) queda como

$$n^2=4-4\frac{1}{n^2}\delta^2$$

es decir, $n^4-4n^2+4\delta^2=0$, de manera que

$$\dst n^2=2\pm 2\sqrt{1-\delta^2}$$

Con la condición $n\geq 1$ tenemos que $\pm\sqrt{1-\delta^2}\geq - \frac{1}{2}$ lo que significa que la solución con + es siempre válida, y con - sólo si $\delta\geq\sqrt{3}/2$.

Por tanto, cabría distinguir dos casos, si $\delta\leq\sqrt{3}/2$ sólo será válida

$$\dst n=\sqrt{2+2\sqrt{1-\delta^2}}$$

y si $\delta\geq\sqrt{3}/2$ tendríamos las dos soluciones

$$\dst n=\sqrt{2\pm 2\sqrt{1-\delta^2}}$$

Aclararé que es la segunda vez que edito este mensaje, y añadiré que me extrañan mucho un par de cosas: el que no tenga solución única, así como que no me encaja el que para $n=1$ no sea $\delta=0$. Por tanto, apuesto que he cometido errores, pero ahora mismo debo estar muy obcecado (y con apuro por hacer otras cosas!) que no lo veo.

- - - Actualizado - - -

Añado: mis dudas ya arrancan con la expresión (1), si $n=\frac{n_2}{n_1}=1$ encuentro evidente que debería ser $l=2R$, mientras que (1) implica $l=R$...

[Breogan]

Re: indice de refraccion

Hola:

Creo que el error señalado por arivasm es consecuencia de que en ningún lado consideramos que el punto de incidencia y el punto de reflexión pertenecen a la circunferencia, sección del cilindro de indice de refracción n2. Por lo cual el segmento que va desde el centro del circulo al "supuesto punto de reflexión" ya no esta forzado a valer R, y como consecuencia de esto resulta que tampoco resulta obligatorio que $\alpha_2 = \theta$ sea verdadero para todas las situaciones posibles.
Creo que por ahí puede ser que vaya el evidente error en nuestro planteo.

Se me ocurre que la mejor forma de formalizar matemáticamente esta restricción geométrica resulta de considerar que el triangulo inscrito en una semicircunferencia siempre es un triangulo rectángulo. De esta forma el punto de incidencia del rayo en el cilindro, el punto de reflexión, y el punto opuesto a este ultimo (extremo del mismo diámetro) determinan un triangulo que siempre es rectángulo.

No hice todavía la parte matemática, pero les dejo el mismo dibujo modificado teniendo en cuenta esta condición:

Triangulos rectangulos ABC (lados a, b, c), ABD (lados a, l, 2R), y BCD (lados b, l, 2R-c).

Mañana voy a tratar de subir la parte matemática, si lo que digo estuviera bien y nadie la subió antes.

s.e.u.o.

Suerte

[arivasm]

Re: indice de refraccion

...el punto de incidencia y el punto de reflexión pertenecen a la circunferencia... Por lo cual el segmento que va desde el centro del circulo al "supuesto punto de reflexión" ya no esta forzado a valer R

Siempre me fastidia contribuir deshaciendo en lugar de haciendo. Entiendo que la segunda frase que recojo no es cierta, o al menos contradictoria con la primera: si el punto de reflexión pertenece a la circunferencia el segmento que va desde el centro a dicho punto valdrá R.

De todos modos, gracias Breogán. Siempre ayudas a que los problemas sean más interesantes.

[Breogan]

Re: indice de refraccion

Hola:

Disculpa la demora, pero después de una pausa vuelta la burra al trigo. Yo en la primera frase use una negación, copio:

Creo que el error señalado por arivasm es consecuencia de que en ningún lado consideramos que el punto de incidencia y el punto de reflexión pertenecen a la circunferencia, sección del cilindro de indice de refracción n2. Por lo cual el segmento que va desde el centro del circulo al "supuesto punto de reflexión" ya no esta forzado a valer R

Aparte de esto, que realmente no estoy seguro porque sucede, posteo para aportar un desarrollo en base a la siguiente figura:

De la figura:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De (1):

$\dst n_1 \ \frac b R = n_2 \ \frac a {2R}$

$\dst \frac {n_2}{n_1} = \frac {2 b} a$

De (2), sumando la 2º y la 3º ecuación:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\Rightarrow$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\Rightarrow$ $\dst (2R)^2 = 2 b^2 + c^2 + (2 R- c)^2$

$\dst 4 R^2 = 2 b^2 + c^2 + 4 R^2- 4 R c + c^2$

$\dst 0 = 2 b^2 + 2 c^2 - 4 R c$

$\dst c^2 - 2 R c + b^2 = 0$

y esta ecuación cuadratica tiene como soluciones:

$\dst c = R \pm \sqrt{R^2 - b^2}$

de las cuales descartamos la del signo + delante de la raiz, ya que c no puede ser mayor que R:

$\dst c = R - \sqrt{R^2 - b^2}$

después de hacer todo esto me di cuenta que la ultima ecuación sale casi directamente de la figura sin tanto trabajo. De la tercera ecuación de (3) tenemos:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y por ultimo:

$\dst \frac {n_2}{n_1} = \frac {2 b} {\sqrt{b^2 + ( R - \sqrt{R^2 - b^2})^2}}$


que tampoco es la solución correcta, pero la subo para ver si alguien encuentra el error o puede aportar un camino alternativo.
Este intento de solución da como resultado 2 cuando b=0, y $\sqrt{2}$ cuando b=R (tener en cuenta que b=d/2), parece que le sobra un 2 en el numerador.

Ahora que la estoy transcribiendo veo que, a mi parecer, esto que escribí adolece del mismo problema que el señalado por arivasm en un post anterior, y todavía no entiendo el porque.

Agradezco cualquier aporte. Gracias.

Suerte

[arivasm]

Re: indice de refraccion

Perdón por darle otro enfoque más al problema. Pero creo que ya lo he resuelto.

Empezaré por un caso absolutamente general. Por sencillez llamaré n al índice de refracción del cilindro relativo al aire.

Comenzaré señalando que como el triángulo BOD es isósceles los dos ángulos interiores dibujados valdrán lo mismo, $\theta$. El ángulo en O será [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , luego

$$2\theta=\alpha+\beta$$

.

En segundo lugar tenemos que se cumple la ley de Snell:

$$\sin\alpha=n\sin\theta$$

Como el ejercicio que tenemos entre manos fuerza el caso $\beta=0$ tenemos que deberá cumplirse que

$$2\theta=\alpha$$

de manera que la ley de Snell tomará la forma particular

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Es decir

$$2\sin\theta\cos\theta=n\sin\theta$$

Es importante apreciar que, como es evidente, esta igualdad se satisfará en el caso $\theta=0$ para absolutamente todos los índices de refracción. Por tanto, nuestro interés se centrará en los casos no triviales, es decir, aquellos en los que

$$2\cos\theta=n$$

Para seguir el razonamiento rehagamos la imagen anterior para el caso del ejercicio en cuestión:

Ahora juguemos un poco con la ley de Snell para este caso particular, (4)

$$\dst n = \frac{\sin 2\theta}{\sin\theta}=\frac{\frac{b}{R}}{\frac{b}{l}}=\frac{l}{R}$$

(con lo que tenemos la expresión que me hizo saltar la alarma).

Como

$$\sin\theta=\frac{b}{l}=\frac{b}{nR}$$

con esta expresión y (6) tenemos que

$$\frac{b^2}{n^2R^2}+\frac{n^2}{4}=1$$

Por comodidad, despejemos $b$

$$b=R\frac{n}{2}\sqrt{4-n^2}$$

cuya gráfica es la siguiente

Como vemos, a cada valor de b le deberían corresponder dos índices de refracción, salvo a partir de cierto valor, además del absurdo comportamiento para $n=1$.

Destacaré que para obtener la inversa debemos resolver

$$n^4-4n^2+\left(\frac{2b}{R}\right)^2=0$$

que es la misma expresión que manejé en un mensaje anterior, pues entonces llamé

$\dst\delta=\frac{d}{2R}=\frac{b}{R}$

Pero volvamos al problema que nos hace sospechar que falta algo: ese extraño y absurdo comportamiento para n=1. La clave está en (6). Como $2\theta$ está comprendido entre 0 y 90º, $\theta$ estará comprendido entre 0 y 45º, de manera que su coseno pertenecerá al intervalo $\dst\left[\frac{1}{\sqrt{2}},1\right]$, lo que implica que, para que se cumpla (6) el índice de refracción deberá pertenecer al intervalo $[\sqrt{2},2]$.

Ahora bien, $n=\sqrt{2}$ es precisamente el máximo de la curva. Eso significa que la parte admisible de la función inversa es univaluada, y concretamente corresponde a

$$\dst n=\sqrt{2+2\sqrt{1-\delta^2}}$$

es decir,

$$\dst n=\sqrt{2+2\sqrt{1-\left(\frac{d}{2R}\right)^2}}$$

Desde ya pido disculpas a Breogán por no analizar en qué medida su solución es coincidente con ésta, aunque conociendo la calidad de sus aportaciones pondría la mano en el fuego en favor de que sí lo será.

Saludos!

[Breogan]

Re: indice de refraccion

Hola:

Repase tu desarrollo y después revise el mio, y encontré a ambos correctos.

Tendría que haber manipulado mi ecuación para ver si podía llegar a la puesta en tu mensaje, pero me dio mucha fiaca (pereza), así que opte por analizar ambas en varios puntos y compararlas entre si y con la formula $\dst n = \frac {sen \alpha_1}{sen \theta}$ con el siguiente resultado:

R=	10
α1	Ѳ	b	n	δ		n	n	Diferencia
			senα1/senѲ	b/R
0	0	0	#¡DIV/0!	0		2	#¡DIV/0!
15	7.5	2.5882	1.982889723	0.259		1.982889723	1.982889723	0
30	15	5	1.931851653	0.5		1.931851653	1.931851653	0
45	22.5	7.0711	1.847759065	0.707		1.847759065	1.847759065	0
60	30	8.6603	1.732050808	0.866		1.732050808	1.732050808	0
75	37.5	9.6593	1.586706681	0.966		1.586706681	1.586706681	0
90	45	10	1.414213562	1		1.414213562	1.414213562	0

Como se ve las tres formulas dan el mismo resultado, salvo que la mía en cero da una indeterminación (no quise usar el limite, que da 2, para no tergiversar la planilla de calculo)

Después de darle tanta vuelta, la explicación era tan sencilla como la que pones en tu post, el experimento solo puede medir cocientes de indices de refracción $\dst \frac{n_2}{n_1}$ cuando estos pertenecen al intervalo $\dst [\sqrt{2} , 2[$.

Gracias por tu paciencia.

Suerte