2o ciclo Difracción de Fraunhofer

[Bustikiller]

Buenos días,

Estoy preparando un examen y me he encontrado con el siguiente ejercicio:

Se dispone de dos rendijas de anchuras $b_1 = 50 \mu m$ y $b_2 = 100 \mu m$ y se estudia su figura de difracción con una fuente de luz monocromática de longitud de onda $\lambda$. Se pide:

1) Encontrar el cociente $I_1(\theta) / I_2(\theta)$ entre las intensidades de difracción deambas rendijas en función del argumento $\beta_1 = (\pi / \lambda) b_1 \sin \theta$, donde $\theta$ es el ángulo de difracción, y determinar para qué valor de $\beta_1$ correspondiente al máximo central ($\left\vert{} \beta_1 < \pi \right\vert{}$) dichas intensidades son iguales.

2) En una pantalla situada a 1 metro de distancia del plano donde se colocan las rendijas se ha encontrado que $I_1(\theta)$ es igual a $I_2(\theta)$ para una distancia d = 4.22 mm del centro de la figura de difracción. Determinar la longitud de onda de la luz empleada.

Para resolver el primer apartado he hecho lo siguiente:

$$\frac{I_1(\theta)}{I_2(\theta)} = \frac{I_0 (\frac{\sin \beta_1}{\beta_1})^2}{I_0 (\frac{\sin \beta_2}{\beta_2})^2}$$

Como $b_2 = 2 b_1$, se tiene que $\beta_2 = 2 \beta_1$.

$$\frac{I_0 (\frac{\sin \beta_1}{\beta_1})^2}{I_0 (\frac{\sin \beta_2}{\beta_2})^2} = \frac{(\frac{\sin \beta_1}{\beta_1})^2}{(\frac{\sin 2 \beta_1}{2 \beta_1})^2} = \frac{(2 \sin \beta_1)^2}{(\sin 2 \beta_1)^2}$$

Utilizando la identidad trigonométrica del ángulo doble, $\sin 2 \beta_1 = 2 \sin\beta_1 \cos\beta_1$, tenemos:

$$\frac{(2 \sin \beta_1)^2}{(\sin 2 \beta_1)^2} = \frac{(2 \sin \beta_1)^2}{(2 \sin \beta_1\cos \beta_1)^2} = \frac{1}{\cos^2 \beta_1}$$

Para obtener el valor de $\beta_1$ para el que las dos intensidades son iguales, basta con establecer:

$$\frac{I_1(\theta)}{I_2(\theta)} = 1 \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 \beta_1} = 1 \Rightarrow \cos^2 \beta_1 = 1 \Rightarrow \cos \beta_1 = 1 \Rightarrow \beta_1 = 2\pi n$$

El único valor de n para el que $\beta_1$ se encuentra en el máximo principal (definido en el enunciado) es $n = 0$, por lo que $\beta_1= 0$.

Ahora bien, a la hora de hacer el segundo ejercicio, se indica que hay un ángulo (llamémosle $\alpha$), que se puede calcular como $\alpha = \tan^{-1} (\frac{4,22 mm}{1 m})$, para el que la intensidad es la misma para $I_1(\theta)$ y para $I_2(\theta)$. No obstante, tras resolver el apartado anterior creía que el único punto en el que coincidían era en $\beta_1 = 0$, que corresponde a $\theta = 0$.

¿Alguien sabe en qué me puedo estar equivocando?

Un saludo y muchas gracias.

[Richard R Richard]

Re: Difracción de Fraunhofer

creo que te pierdes una parte de los resultados posibles en

$\cos^2 \beta_1 =1 \Rightarrow \cos \beta_1= \pm 1 \Rightarrow \pm n\pi$ son solucion pero como dicen que el modulo de $\beta <\pi$.....no sirve de nada

- - - Actualizado - - -

Si$I=I_0 \dfrac{\sin^2\beta}{\beta^2}$

con

$\frac{\mathrm{dI} }{\mathrm{d\beta} }=2I_0\dst(\dfrac{\sin \beta}{\beta})(\dfrac{\beta\cos \beta-\sin \beta}{\beta^2})$

tienes un maximo cuando$\beta= \tan \beta$

hazlo para los dos $\beta$ y en el que coincidan tendras un resultado