Índice de refracción en un medio no homogéneo

[luisdlr]

Buenas tardes a todos,

Estoy intentando resolver este ejercicio de Óptica sobre el cálculo del índice de refracción en un medio no homogéneo. El enunciado es el siguiente:

La ecuación que representa el camino de un rayo luminoso en un medio no homogéneo es x = A sen (y/B). Determínese una expresión para el índice de refracción n, si se asume que n depende de x, y que vale n₀ para el plano x = 0.



Hasta ahora, siempre había trabajado con medios homogéneos, por lo que de entrada me ha abrumado bastante el problema. Entiendo que partir de la ley de Snell en la primera interfase, e ir efectuando sustituciones, pero lo sé cómo hacerlo...

Muchísimas gracias de antemano.

Saludos cordiales, y feliz año nuevo.

[Alriga]

Como sobre este tema no recordaba nada, he estado buscando información. La he encontrado en Propagación en un medio no homogéneo. Índice de refracción en donde se puede ver la demostración de que, si el índice de refracción $n$ varía con $x$ y la trayectoria del rayo de luz en cartesianas al atravesar el medio es $y=y(x)$ , se cumplen las expresiones:

$f(x, y, y')=n(x) \cdot \sqrt{1+(y')^2}$

La ecuación de Euler-Lagrange:

$\dfrac{\partial f}{\partial y}-\dfrac{\dd}{\dd x}\left ( \dfrac{\partial f}{\partial y'}\right )=0$

$\dfrac{\dd}{\dd x}\left ( \dfrac{\partial f}{\partial y'}\right )=0$

$\dfrac{ n \ y'}{\sqrt{1+(y')^2}}=C$

$\cancel{\dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{\sqrt C}{\sqrt{n^2-C}}}$

En donde hay un error, realmente lo que se deduce del paso anterior es:

$$\dfrac{\dd y}{\dd x}=\dfrac{C}{\sqrt{n^2-C^2}}$$

(El error no es grave, simplemente si cambiamos el nombre de la constante $C^2 \rightarrow C$ ya sale la expresión tachada)

En nuestro caso, el enunciado nos da como expresión de la trayectoria del rayo de luz en el medio:

$x=A \sin \dfrac y B$

Despejando:

$$y=B \arcsin \dfrac x A$$

Derivando respecto de $x$:

$\dfrac{\dd y}{\dd x}= \dfrac B{A \sqrt{1-\dfrac{x^2}{A^2}}}$

$\dfrac B{\sqrt{A^2-x^2}}=\dfrac{C}{\sqrt{n^2-C^2}}$

$$B^2 (n^2-C^2)=C^2 ( A^2-x^2 )$$

Imponemos la condición inicial $x=0 \ \rightarrow \ n=n_0$ y despejamos la constante $C$:

$$C=\dfrac{B \ n_0}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

Finalmente sustituimos (2) en (1) y despejamos el índice de refracción $n$ obteniendo:

$$n=n_0 \ \sqrt{1-\dfrac{x^2}{A^2+B^2}}$$

Repásalo todo, que no me haya equivocado en despejes y simplificaciones, saludos.