Otras carreras Óptica geométrica - sistema óptico

[kote]

El siguiente sistema óptico alineado se encuentra en un medio de índice de refracción $n_1=1.0$, el cuál está formado por: una lente delgada convergente cuya distancia focal es $L$[m], un prisma rectangular de espesor $L$[m] e índice de refracción $n_2=1.5$ y una esfera de radio $L$[m] e índice de refracción $n_3$.
(a) Si la imagen del objeto puntual $O$ generada por el sistema óptico se encuentra en el punto $V_2$ de la esfera, determine $n_3$.



Mi intento:
(1) Sabemos que $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{f}=\dfrac{2}{R}$, donde p es la distancia al objeto, q la distancia a la imagen, f la distancia focal y R el radio de curvatura.
(2) Una imagen se puede formar por refracción de una superficie esférica de radio R. Las distancias del objeto y la imagen para la refracción de tal superficie se relacionan mediante: $\dfrac{n_1}{p}+\dfrac{n_2}{q}=\dfrac{n_2-n_1}{R}$, donde la luz es incidente en el medio para el que el índice de refracción es $n_1$ y se refracta en el medio para el que el índice de refracción es $n_2$. Luego, con lo anterior podemos proceder como sigue:
Haremos los cálculos para cada ''lente'' separadamente.

- para la lente delgada convergente: Sea $d_{il}$ la distancia a la imagen. Entonces, por (1): $\dfrac{1}{L}+\dfrac{1}{d_{il}}=\dfrac{1}{L} \Rightarrow \dfrac{1}{d_{il}}=0 \Rightarrow d_{il}=\infty$.
En esta ecuación es donde me voy complicando: Usando (2) se tiene: $\dfrac{1}{L}+\dfrac{1}{\infty}=\dfrac{1-1}{R} \Rightarrow \dfrac{1}{L}=0 \Rightarrow \dfrac{2}{R}=0 \Rightarrow R=\infty$. (????)

Alguien podría ayudarme a seguir, porfavor.
Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Óptica geométrica - sistema óptico

si no entiendo mal el problema yo lo resolvería así

El objeto esta situado en O justo a la distancia L que es la distancia focal de la lente delgada, por lo tanto la imagen de ese objeto esta en el infinito, es decir todos los haces salen paralelos hasta llegar al prisma,

Alli como el angulo de entrada es nulo, si se aplica la ley de Snell también sera nulo el angulo de salida .

Así que los rayos llegan paralelos a la esfera cuya ecuación del constructor será

$\dfrac 1f=(n_3-1)\left(\dfrac 1R-\dfrac{1}{-R}\right )=(n_3-1)\dfrac 2R$

si la imagen queda en el punto $V_2$ a una distancia $L$ igual al radio $R$ y sabiendo que los rayos son paralelos osea provienen del infinito

tenemos

$\dfrac{1}{\infty}+\dfrac{1}{L}=\dfrac 1f=\dfrac{1}{L}=\dfrac{1}{R}$

como el foco es el mismo en las dos ecuaciones , igualando obtenemos

$\dfrac{1}{R}=(n_3-1)\dfrac 2R$

de donde $n_3=1.5$

[kote]

Re: Óptica geométrica - sistema óptico

Gracias por responder!

$\dfrac 1f=(n_3-1)\left(\dfrac 1R-\dfrac{1}{-R}\right )=(n_3-1)\dfrac 2R$

Ese $-R$ en la ecuación de donde proviene? no logro verlo

[Richard R Richard]

Re: Óptica geométrica - sistema óptico

De la ecuación de la lente , la esfera es una lente con dos radios que son iguales, pero unose ubica a favor del sistema de referencia y el otro en contra , por eso uno es positivo y el otro negativo, luego el signo menos de la formula permite evaluar el aumento de la lente, por diferencia de la inversa de los radios.

[kote]

Re: Óptica geométrica - sistema óptico

Comprendo, me quedó claro!
Gracias Richard

[kote]

Óptica geométrica - sistema óptico (parte b))

El siguiente sistema óptico alineado se encuentra en un medio de índice de refracción [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , el cuál está formado por: una lente delgada convergente cuya distancia focal es $$L$$[m], un prisma rectangular de espesor $$L$$[m] e índice de refracción [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y una esfera de radio $$L$$[m] e índice de refracción [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

[ATTACH=CONFIG]13563[/ATTACH]

(b) Para un objeto de altura $0.01L$[m] que se localiza a $2L$[m] a la derecha de $V_2$, determine la altura de la imagen.

obs: de parte anterior (a), sabemos que $n_3=1.5$

[arivasm]

Re: Óptica geométrica - sistema óptico

Así que los rayos llegan paralelos a la esfera cuya ecuación del constructor será

$\dfrac 1f=(n_3-1)\left(\dfrac 1R-\dfrac{1}{-R}\right )=(n_3-1)\dfrac 2R$

Perdón porque no me meta un poco más en el fondo de la cuestión, pero creo que la ecuación del constructor no es aplicable en este caso, pues procede de la aproximación del caso de dos dioptrios esféricos cuya separación entre ellos es despreciable (es decir, solo es válida para lentes delgadas).

Yo creo que se debe aplicar la ecuación del dioptrio $\dfrac{n_3}{s'}-\dfrac{n_1}{s}=\dfrac{n_3-n_1}{R}$ a la primera superficie (no hace falta hacerlo con la segunda debido a que la imagen se forma sobre ella) con $s'=2R$ y $s=-\infty$: $\dfrac{n_3}{2R}=\dfrac{n_3-1}{R}$, con lo que $n_3=2$.

Aclaro que la primera frase la tengo relativamente clara. La segunda procede de una lectura superficial del hilo.

[Richard R Richard]

Re: Óptica geométrica - sistema óptico (parte b))

está formado por: una lente delgada convergente .......... y una esfera de radio $$L$$[m] e índice de refracción [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Yo creo que se debe aplicar la ecuación del dioptrio $\dfrac{n_3}{s'}-\dfrac{n_1}{s}=\dfrac{n_3-n_1}{R}$ a la primera superficie (no hace falta hacerlo con la segunda debido a que la imagen se forma sobre ella)

releyendo el enunciado es claro que no se trata de dos lentes delgadas, por lo que creo llevas la razon.

(b) Para un objeto de altura $0.01L$[m] que se localiza a $2L$[m] a la derecha de $V_2$, determine la altura de la imagen.

obs: de parte anterior (a), sabemos que $n_3=\cancel{1.5}\,\,2$

ahora la luz va de derecha a izquierda y debes aplicar la ecuación del dioptrio a las dos superficies, toma un sistema de referencia donde positiva es una distancia medida hacia la derecha y


$\dfrac{n_3}{s'}-\dfrac{n_1}{s}=\dfrac{n_3-n_1}{R}$


$\dfrac{2}{s'}-\dfrac{1}{2L}=\dfrac{2-1}{L}$

$s'=\dfrac 43 L$

la segunda superficie esta a 2L de de distancia de la primera asi que la distancia de la imagen de la primer superficie que se usara como objeto de la segunda superficie estara a

$s''=\dfrac 43 L+2L=\dfrac{10}3L$


la imagen será $s'''$

$\dfrac{n_1}{s'''}-\dfrac{n_3}{s''}=\dfrac{n_1-n_3}{R}$

$\dfrac{1}{s'''}-\dfrac{2}{\dfrac{10}3L}=\dfrac{1-2}{L}$

de donde $s'''=-\dfrac52 L$

es decir la imagen se forma a la izquierda de la esfera a 2.5L de distancia.


luego aplica la relación de aumentos laterales


$\dfrac{y'''}{y}=-\dfrac{s'''}{s}$

$\dfrac{y'''}{0.01L}=-\dfrac{-2.5L}{2L}$

$y'''=0.0125L$