1r ciclo Ejercicio de óptica

[Eiglesias]

Muy buenas me gustaría pediros ayuda sobre un problema que se me esta resistiendo.

El problema dice así:

[FONT=OpenSans]Se coloca un espejo cóncavo de radio R con su eje vertical y su centro de curvatura por encima de la horizontal. A continuación se deposita sobre el espejo un líquido transparente de índice de refracción n. La distancia entre la superficie libre del fluido y el vértice es h y el objeto está por encima de la superficie libre del líquido. Calcule la distancia sobre el vértice del espejo a la que hay que colocar un pequeño objeto luminoso para que la imagen final dada por el espejo coincida sobre el objeto.
[/FONT][FONT=OpenSans]
[FONT=verdana]Lo he intentado plantear considerando que el medio actuaria como una lente de menisco convergente pero no he tenido suerte.

Mil gracias de antemano.[/FONT][/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de óptica

Hola bienvenido al foro , como nuevo usuario te sera útil leer consejos para recibir ayuda en forma efectiva

Entiendo que tienes que usar la ecuación del constructor de lentes.

$\dfrac{n}{s'}-\dfrac{n}{s}=(n'-n)\left(\dfrac{1}{R1}-\dfrac{1}{R2}\right)$

Te piden que $s=s'$ pero ten en cuenta que como hay un espejo lo que cambia la medida en el sistema de referencia a $s=-s'$
Además la superficie libre de un liquido tiene el mismo radio que la tierra o lo aproximas a infinito y si supones que el medio donde viaja la luz es aire, su índice de refracción es aproximadamente 1, lo que transforma la ecuación a

$\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s}=(n'-1)\left(\dfrac{1}{R}\right)$

Luego $s=\dfrac{2R}{n'-1}$

[Eiglesias]

Re: Ejercicio de óptica

Muchísimas gracias por prestarle atención a mi problema y echarme una mano.
[FONT=verdana]Parece aun así que la respuesta no es correcta.[/FONT]
[FONT=verdana]Utilizando[/FONT]
$s=\frac{2R}{n'-1}$
[FONT=verdana]No se tiene en cuenta la h del liquido y creo que hay que usarla en algún momento pero no consigo descifrar el donde.
[/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de óptica

Entiendo, pero has visto algún problema de lentes "delgadas" en donde se use el espesor de la lente o su diametro en las "y" laterales, como variable para determinar la posición de las imágenes o el aumento lateral...?

[JCB]

Re: Ejercicio de óptica

Hola a todos.

Este ejercicio, me recuerda algo al último problema de Estática (una varilla apoyada sobre una superfície parabólica).



Considerando al objeto de una anchura "a", la imagen la podemos formar con dos rayos de luz, el primer rayo sería el que "viaja" paralelamente al eje de ordenadas desplazado una distancia "a", atraviesa el líquido perpendicularmente, e impacta en el espejo. Ahora bien, después de reflejarse en el espejo no tengo claro que la dirección de este rayo, coincida con la dirección del foco. Después se refractaría (con un ángulo que podríamos hallar con la ley de Snell) y seguiría hasta el punto de donde ha partido.

El segundo rayo, sería el eje de ordenadas.

Los dos rayos formarían una imagen real, encima del objeto.

No obstante, igual que con el problema de Estática (en el principio), aún no he llegado a una solución aceptable.

Saludos cordiales,
JCB.

[Eiglesias]

Re: Ejercicio de óptica

Entiendo, pero has visto algún problema de lentes "delgadas" en donde se use el espesor de la lente o su diametro en las "y" laterales, como variable para determinar la posición de las imágenes o el aumento lateral...?

Si, es cierto que no se usan en problemas de lentes delgadas.

Considerando al objeto de una anchura "a", la imagen la podemos formar con dos rayos de luz, el primer rayo sería el que "viaja" paralelamente al eje de ordenadas desplazado una distancia "a", atraviesa el líquido perpendicularmente, e impacta en el espejo. Ahora bien, después de reflejarse en el espejo no tengo claro que la dirección de este rayo, coincida con la dirección del foco. Después se refractaría (con un ángulo que podríamos hallar con la ley de Snell) y seguiría hasta el punto de donde ha partido.

Igual es algo como esto en vez de considerar el medio como una lente.

[JCB]

Re: Ejercicio de óptica

Hola Eiglesias.

Partiendo de mis hipótesis y suposiciones, he llegado a que la distancia sobre el vértice del espejo es $y=h\left(1+\dfrac{1}{n}\right)$.

Si coincide con el resultado, me lo dices, y te pondré el desarrollo.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de óptica

después de reflejarse en el espejo no tengo claro que la dirección de este rayo, coincida con la dirección del foco.

Hola JCB, la parábolas del tipo $y=a(x-b)^2+c$ tienen foco en$(b,c+\dfrac{1}{4a})$,tomando b y c en el origen, el foco esta a una distancia del vértice de $\dfrac{1}{4a}$.

Pero en este problema la superficie del espejo es arco de circunferencia, ya que como verás tiene "Radio" constante.

Si consideras de ese modo la refracción por medio de la ley de Snell la imagen no volverá a un único punto x sino a un segmento entre $[h ,\infty)$ el mínimo h sucede donde se ubica el punto que nos permite el máximo ángulo $\theta_2$ antes de la reflexión interna total, pero los rayos que entran por el eje de simetría vuelven por el infinito hacia el.

Ademas en el dibujo $\theta_2$ tiene que estar en el mismo cuadrante que$\theta_1$ siendo $\theta_2>\theta_1$ por lo que de haber un foco definido tiene que estar entre $[h ,\dfrac{R}{2}]$

[FONT=OpenSans] para que la imagen final dada por el espejo coincida sobre el objeto.
[/FONT][FONT=OpenSans]
[/FONT]

el unico modo que sucede esto es que $s=-s'$ pero a la vez debe darse $y=-Ky'$ una imagen invertida, pero de seguro mucho mas grande que el objeto, osea entre $f$ y $2f$ o $R$

[Eiglesias]

Re: Ejercicio de óptica

Parece que el resultado no es correcto ya que la respuesta ha de ser una de las siguientes opciones:
a)[FONT=OpenSans]1.05761·10[/FONT]^-1[FONT=OpenSans] m[/FONT]
b)[FONT=OpenSans]1.8025·10[/FONT]^-1[FONT=OpenSans] m[/FONT]
c)[FONT=OpenSans]1.935·10[/FONT]^-1[FONT=OpenSans] m[/FONT]
d)[FONT=OpenSans] 8.18723·10[/FONT]^-2[FONT=OpenSans] m[/FONT]
e)[FONT=OpenSans] 1.98615·10[/FONT]^-1[FONT=OpenSans] m[/FONT]
[FONT=OpenSans][FONT=verdana]Con: [/FONT] R = 1.143·10[/FONT]^-1[FONT=OpenSans] m, n = 1.375 , h = 8.299·10[/FONT]^-2[FONT=OpenSans] m

[FONT=verdana]Utilizando[/FONT] [/FONT]$y=h(1+\frac{1}{n})$[FONT=OpenSans]
[FONT=verdana]y=0.1433m [/FONT][/FONT]

[JCB]

Re: Ejercicio de óptica

Ok Richard.

Efectivamente, se trata de un espejo cóncavo de radio R, en el cual la distancia del foco F al vértice es $\dfrac{R}{2}$. Según tengo entendido, los rayos paralelos al eje son reflejados y pasan por el foco F. Lo que no tengo claro es que habiendo un líquido, esto siga cumpliéndose.

Y también (lo que hace más pupa), es que los ángulos de refracción que he dibujado en el croquis, no cumplen la ley de Snell .

Agradecido, y seguiré con el tema.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Ejercicio de óptica

vayamos por partes a ver si lo sacamos.

los rayos paralelos chocan con el espejo cóncavo y dan una imagen s' ubicada en

$\dfrac{1}{s}+\dfrac{1}{s'}=\dfrac{2}{R}$

esos mismos rayos atraviesan la lente formada por el liquido de forma oblicua, cuya ecuación es

$\dfrac{1}{s''}-\dfrac{1}{s'}=(n'-1)\left(\dfrac{1}{R}\right)$

de donde

$\dfrac{1}{s''}+\dfrac{1}{s}-\dfrac{2}{R}=(n'-1)\left(\dfrac{1}{R}\right)$

sabiendo que $s''=s$

quedando luego de los reemplazos

$s=\dfrac{2R}{n'+1}=$ que tampoco usa h y tampoco llega a ninguna de las soluciones ofrecidas

[arivasm]

Re: Ejercicio de óptica

Este mensaje ha sido editado: Al final hay un atajo directo a la solución. En buena medida se respeta el mensaje original.

Solución "a pedal"

Los que me conocéis sabéis que tengo tendencia a matar moscas a cañonazos...

Antes de proponer mi desarrollo pondré un poco de teoría. Por supuesto nos restringimos a la zona paraxial.

En un dioptrio esférico de radio $r$ si el índice del medio para el objeto real es $n$ y el del segundo medio (para la imagen real) es $n'$ entonces, con el criterio de signos habitual (izquierda-derecha) la ecuación que relaciona la distancia objeto $s$ y la imagen $s'$ es

$\dst\frac{n'}{s'}-\frac{n}{s}=\frac{n'-n}{r}$

En el caso particular del dioptrio plano, la ecuación anterior pasa a ser

$$s'=\frac{n'}{n}s$$

Por lo que se refiere al espejo destacaré que su ecuación es independiente del índice de refracción del medio en que se encuentre. En particular, para un espejo cóncavo de radio $R$ es de la forma

$\dst\frac{1}{s'}+\frac{1}{s}=-\frac{2}{R}$

De aquí resulta

$$s'=-\frac{Rs}{2s+R}$$

En lo que sigue llamaré $x$ a la distancia que pide el ejercicio. Lo descompondré en los tres cambios que se producen en los rayos. De aquí en adelante $n$ es el índice de refracción del líquido.

A ver si no he cometido errores en algún paso.

1. Primera refracción
La posición del objeto será, con el criterio mencionado, $s_1=-(x-h)$ y la forma concreta para (1) será $s'_1=ns_1$. Por tanto

$$s'_1=-n(x-h)$$

2. Reflexión en el espejo
Con el criterio que estamos manejando, las distancias positivas son por debajo del líquido. Igualmente, las positivas para el espejo son por debajo del mismo. Así pues, solo tenemos que tener presente el desplazamiento del origen.

La posición del objeto será $s_2=s'_1-h$, es decir

$s_2=-nx+(n-1)h$

Aplicando (2) tenemos que la posición de la imagen producida por esta reflexión será

$$s'_2=\frac{nRx-(n-1)Rh}{-2nx+2(n-1)h+R}$$

3. Segunda refracción
Ahora, además del desplazamiento del origen, tenemos que tener cuidado con el cambio en el sentido de la marcha de los rayos.

La posición del objeto, que será positiva por encima del líquido, será $s_3=-s_2'-h$, es decir

$s_3=\dfrac{-nRx-(2-n)Rh+2nxh-2(n-1)h^2}{-2nx+2(n-1)h+R}$

Aplicando (1) a este caso, ahora tenemos que

$s'_3=\dfrac{1}{n}s_3$

de manera que

$$s'_3=\frac{-nRx-(2-n)Rh+2nxh-2(n-1)h^2}{n[-2nx+2(n-1)h+R]}$$

Ahora aplicaremos la condición del ejercicio, teniendo en mente que en este último cálculo las distancias positivas están por encima del líquido, por lo que se trata de que

$x=s'_3+h$

Es decir

$\dst nx+nh=\frac{-nRx-(2-n)Rh+2nxh-2(n-1)h^2}{-2nx+2(n-1)h+R}$

De este modo llegamos a la ecuación de segundo grado

$n^2x^2-[R+2(n-1)h]nx+(n-1)^2h^2+(n-1)Rh=0$

cuyas soluciones son,

$\dst \boxed{x=\dfrac{R+(n-1)h}{n}}$
$x = \dfrac{n-1}{n}h$

donde la correcta es la primera, habida cuenta de que debe cumplirse que $x\geq h$.



En el caso límite $h\to 0$ se tiene que $x\to\dfrac{R}{n}$, justificable con un tratamiento de lentes delgadas.

Por una parte tenemos que el líquido define una de potencia $\dfrac{n-1}{R}$. Por su parte, dejando de lado la inversión en el sentido de los rayos, el espejo se comporta como una lente convergente de potencia $\dfrac{2}{R}$. Por tanto, la potencia del sistema equivale a la suma de tres lentes

$\dst P=2\frac{n-1}R+\frac{2}{R}=\frac{2n}{R}$

Por tanto, el sistema equivale a una lente de longitud focal $R/2n$. Como la situación de un objeto cuya imagen real es del mismo tamaño es $|s|=2f$, obtenemos que $x=|s|=R/n$

Solución rápida

Está claro que si le damos marcha atrás a los rayos los objetos se vuelven imágenes y viceversa. Por tanto, la imagen que forma el espejo también coincide con su objeto. Eso significa que la imagen intermedia de la primera refracción, objeto para el espejo, se forma en el centro de curvatura de éste. Por tanto, en la primera refracción tenemos que $s'=-(R-h)$, donde he tenido en cuenta el desplazamiento del origen, así como el criterio de signos. Por su parte, el objeto está en $s=-(x-h)$. Como, por (1), $s'=ns$ se deberá cumplir que $R-h=n(x-h)$ y entonces

$\dst \boxed{x=\dfrac{R+(n-1)h}{n}}$

Con los datos del ejercicio obtengo un valor de 10,58 cm, que prácticamente coincide con la primera de las soluciones ofrecidas.

[JCB]

Re: Ejercicio de óptica

Hola a todos.

arivasm, el adjetivo que más se ajusta a tu desarrollo, es, impresionante. Tendré que estudiar detenidamente tu post # 12, para no perderme (sobre todo, y también, con los signos).

Por otra parte, también sería interesante llegar a alguna conclusión aceptable, a partir del malogrado enfoque geométrico que yo inicié.

Saludos cordiales,
JCB.

[arivasm]

Re: Ejercicio de óptica

Muchas gracias, JCB. Pero no te puedes imaginar el montón de tiempo que me ha llevado cazar los gazapos del mensaje original y cuánto he lamentado que no se me hubiese ocurrido antes la solución directa. De todos modos, reconozco que me he divertido mucho empeñándome en que el método bruto llevase al mismo resultado que el segundo.

Yendo a tu enfoque la primera impresión que tengo es que hay un error en el dibujo de la refracción en la superficie del líquido, pues los dos rayos están del mismo lado de la normal.

De todos modos, sabiendo ya cuál es la clave de la solución (que el trazado de los rayos marcha atrás acabe pasando por los mismos puntos) tenemos que el rayo que se trace debe llegar perpependicularmente al espejo, para regresar al punto de partida. Por tanto, la figura sería algo así (C es el centro de curvatura del espejo y P la posición del objeto/imagen final):

Por una parte tenemos que $a=PQ \sin\alpha=CQ \sin\theta$. Dividiendo miembro a miembro y teniendo en cuenta que $n\sin\theta=\sin\alpha$ nos queda que $n PQ = CQ$. Ahora tiramos de aproximación paraxial: en ésta $PQ\approx x-h$ y $CQ\approx R-h$, de manera que $n(x-h)\approx R-h$ y entonces llegamos a la misma solución de antes.

Imagino que se podrá hacer con un dibujo como el tuyo y jugar con la misma idea: para que el rayo que parte del extremo del objeto acabe regresando a ese mismo punto deberá llegar radialmente al espejo, para volver por el mismo camino. Entiendo que después habrá que hacer la aproximación paraxial, que ahora incluirá que la altura del objeto sea despreciable.

Saludos.