Reflector de esquina

[[Beto]]

Este problema lo tengo hace una semana mas o menos ya he pensado en como resolverlo pero tengo una dificultad al imaginarse la forma en que ocurre el fenomeno que en el problema se describe.

Problema

Un reflector de esquina está formado por tres superficies reflectoras mutuamente perpendiculares.

Demuestre que el rayo de luz incidente sobre el reflector de esquina (incidente en las tres superficies) se refleja nuevamente a lo largo de una línea paralela a la línea de incidencia.

Sugerencia: Considere la reflección en las componentes de un vector que describe la dirección del rayo de luz.

El problema lo he resuelto teniendo en cuenta la sugerencia ya que con ello no es necesario graficar el fenómeno ocurrido, bueno ahora la pregunta que hago es la siguiente "¿Cómo seria una representación geométrica del fenómeno ocurrido?", esto último es lo que he tratado de imaginar pero no he podido pues no se como es que el rayo incide en las tres superficies .

[aLFRe]

Re: Reflector de esquina

Demuestre que el rayo de luz incidente sobre el reflector de esquina (incidente en las tres superficies) se refleja nuevamente a lo largo de una línea paralela a la línea de incidencia.

Creo que es un problema de redacción del enunciado.
El rayo es incidente mientras no abandona el dispositivo.
Si elige como los planos del reflector como los semiplanos coordenados,
la condición necesaria ( no suficiente)
para que un rayo procedente de una fuente S
en un punto $(x_0, y_0, z_0)$ con
$x_0 >0$
$y_0 >0$
$z_0 >0$
se refleje sucesivamente en cada plano del espejo
es que para su dirección de propagación $(x, y, z)$
$x <0$
$y <0$
$z <0$
como Vd. habrá ya notado puesto que resolvió el problema,
El dibujo lo puede hacer fácilmente si considera
que la fuente de luz S en una reflexión
se convierte en una fuente virtual en el punto simétrico de S respecto
del plano especular.

Un saludo.

[[Beto]]

Agradesco la respuesta .. pues si tienes razon aLFRe de esa manera se puede hacer un agráfica para el problema mostrado.

Para los demás que hayan leido este mensaje y tengan curiosidad de como se soluciona a continución redactaré la solución:

Sea el vector $\vec{k_{i}}=(k_x ,k_y ,k_z)$ que describe ladirección del rayo incidente, luego considerando los cosenos directores del vector se tiene que:

$\frac{k_x}{k}=\cos{\theta_{1 i}}$

$\frac{k_y}{k}=\cos{\theta_{2 i}}$

$\frac{k_z}{k}=\cos{\theta_{3 i}}$

Del mismo modo sea $\vec{k_{r}}=(k'_x ,k'_y ,k'_z )$ la dirección del rayo reflejado entonces:

$\frac{k'_x}{k}=\cos{\theta_{1 r}}$

$\frac{k'_y}{k}=\cos{\theta_{2 r}}$

$\frac{k'_z}{k}=\cos{\theta_{3 r}}$

Entonces por condición de reflección se tiene que:

$\theta_i =\theta_r$ entonces $(\theta_{1i} ,\theta_{2i} ,\theta_{3i})=(\theta_{1r}, \theta_{2r}, \theta_{3r})$

Luego:

$k'_x=k'\frac{k_x}{k}$

$k'_y=k'\frac{k_y}{k}$

$k'_z=k'\frac{k_z}{k}$

Si designamos $\frac{k'}{k}=c$ se tiene:

$k'_x=c k_x$

$k'_y=c k_y$

$k'_z=c k_z$

Por lo tanto se tiene que:

$\vec{k_r}=c \vec{k_i}$

Es decir los rayos reflejado he incidente son paralelos.

Si hay alguna corrección que hacer a mi solución agradeceria me la hagan saber.

Saludos!!!!!!!!!

[aLFRe]

Agradesco la respuesta ..

De nada

Si hay alguna corrección que hacer a mi solución agradeceria me la hagan saber.

A menos que haya considerado las reflexiones en cada espejo como una sola,
y obviado detallar cada paso en su post, todo está mal.

1. El ángulo al que se aplica la ley de Snell no son los directores,
sino al formado por el rayo con la normal a la interfase del medio.
En este caso, si Vd. respeta la elección que yo hice del sistema de coordenadas
en mi post previo,
cada uno de estos ángulos
será el relevante pero en cada reflexión
en cada plano coordenados...

2. Si trabaja con vectores de onda la ley de Snell para la reflexión
debe de incluir un signo:
$\theta_i= -\theta_r$
Para ilustrar lo que le digo...
La reflexión en el plano XY ( Z= 0 )
descrito por la normal $\widehat{u}_z$
si el vector de propagación es $(k_x, k_y, k_z)$
implica que el reflejado sea $(k_x, k_y, -k_z)$.
Puesto que cada reflexión, si se remonta Vd.
a la teoría corpuscular de Newton no es más que una colisión elástica
con una pared totalmente inmóvil.

Al final, tras las tres reflexiones,
se obtiene el resultado que Vd. cita sin signo...
todo esto sujeto a yo esté viendo el problema en la forma correcta...
que no estoy muy seguro...

Un saludo.

[[Beto]]

mm .. si tienes razon ... fue error mio poner que son los cosenos directores pues lo que he hecho es simplemente tomar un vector para que represente la dirección del rayo incidente, por otro lado tambien es cierta la corrección que haces conrespecto al signo del ángulo $\theta_i=-\theta_r$, en cuanto a las coordenas de los vectores que indican las coordenas de los rayos reflejado e indicente no les puse signo pues a unos los denote con $k$ y a los otros con $k'$ pero en el caso de no haberlo hecho asi tienes razon pues esos serian los valores para las coordenas de dichos vectores aunque no se asegura que la refleccion se de en el plano XY pero como dices es solo para ilustrar

Pd: No lo corrijo en donde puse la solución pues si alguien mas lo lee no entenderia de que se sigue hablando

Saludos!!!

[aLFRe]

2ª reedición.
1ª reedición.

mm .. si tienes razon ... fue error mio poner que son los cosenos directores pues lo que he hecho es simplemente tomar un vector para que represente la dirección del rayo incidente,

Con 1 única reflexión especular
de la ley de Snell NO se puede deducir que las direcciones de salida
y entrada ( no consideremos el sentido de momento) sean la misma
salvo para incidencia normal a la interfase
o sea [texf10f0]\theta_i=0[/texf10f0]
o rasante...[texf10f0]\theta_i=\frac{\pi}{2}[/texf10f0]
Pruebe a hacer un dibujo.

por otro lado tambien es cierta la corrección que haces conrespecto al signo del ángulo [texf10f0]\theta_i=-\theta_r[/texf10f0], en cuanto a las coordenas de los vectores que indican las coordenas de los rayos reflejado e indicente no les puse signo pues a unos los denote con [texf10f0]k[/texf10f0] y a los otros con [texf10f0]k'[/texf10f0] pero en el caso de no haberlo hecho asi tienes razon pues esos serian los valores para las coordenas de dichos vectores

Cierto, nada dije al respecto pero gracias por comentarmelo
porque evidentemente me entendió mal..

Pero en una línea inferior los iguala...
incorporando una constante c ...

Si designamos \frac{k'}{k}=c se tiene:

tal y como está escrito es proporcionalidad de módulos...
bueno si es en módulos la condición de elasticidad

si por [texf10f0]\vec{k}[/texf10f0] se designa al vector de onda.

implica que c= 1
o quizás era su punto de partida para desarrollar los casos partículares
en las líneas siguientes

bueno... es igual en 1 única reflexión especular no difusa
esa constante no puede ser la misma
para esas tres componentes salvo en los casos citados antes...

Y bueno... yo nunca hago correcciones ,
soy estudiante...no profesor y esto no es un examen
dejo aquí simplemente mi opinión...

aunque no se asegura que la refleccion se de en el plano XY pero como dices es solo para ilustrar

Por eso le dije que no estaba muy seguro de haber entendido el problema.
Tal y como yo lo he hecho he supuesto tres reflexiones sucesivas
en cada uno de los planos del espejo
( que he identificado con los semiplanos coordenados,
para simplificar o mas concretamente... un uff semi-semi-plano )
tras las cuales el rayo deja el sistema óptico.
Bajo esa idea mía,
ya le digo que puede ser que no sea correcta mi interpretación,
con independencia del orden de las reflexiones el rayo abandona el espejo en dirección opuesta.

Un saludo y gracias por leerme.