1r ciclo Criterio de Rayleigh

[[Beto]]

Hola quiesiera que me ayudaran a resolver este problema:

Dos fuentes puntuales $S1$ y $S2$ situadas a $50m$ de la lente $L$ y a $6mm$ una de otra, produen imagenes apenas resueltas según el criterio de Rayligh. La distancia focal de la lente es $20 cm$. Determinar el diametro de cada uno de los anillos de difracción.

Gracias de antemano.

[aLFRe]

Re: Criterio de Rayligh

Gauss:

$\frac{1}{f'}=\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}$

$f'= 20\,cm$

$s = -5000\,cm$

$\frac{1}{s'}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{s}$

$\frac{1}{s'}=\frac{1}{20}+\frac{1}{-5000}= 0,04998\,cm^{-1}$

$s'\approx 20\,cm$

La imagen está tan alejada de la lente que los frentes de onda
son planos, por lo cual la imagen ( real, pues es convergente)
se debe de formar aproximadamente en el plano focal imagen de la lente.
A partir del aumento lateral
se puede calcular lo que se apartará la imagen de cada foco del eje del sistema.

$\beta=\frac{y'}{y}=\frac{s'}{s}$

$\frac{y'}{3}=\frac{20}{-5000}$

$y'=3\frac{20}{-5000}=-0,012\,mm$

Y las imágenes distan una distancia d= 2 y' = -0,024\,mm.

El criterio de Rayleigh
( lo hicieron Lord creo, no sé si antes o después de dictar su criterio
pero con propiedad se le conoce como el criterio de Lord Rayleigh )
afirma que un sistema óptico resolverá dos objetos
si la distancia entre los centros de sus imágenes de difracción
es igual al disco de Airy.

$radio_{Airy}= 0,024\,mm$

He entendido el "apenas" como exáctamente el límite...
en todo caso sería una cota inferior del radio del disco...
Un saludo.

[[Beto]]

Re: Criterio de Rayligh

Hola ... bueno no me queda muy claro lo que me has explicado pero segun lo que puedo entender es que quieres decir que los dos diametros que se forman son iguales al doble del radio del disco de Airy es decir a 0,048mm. Tambien mencionas que si se resuelven dos imágenes entonces siempre va a ser 0,024mm la separación entre sus centros según el criterio de Rayleigh, entonces según veo los datos que me dan son solamente para determinar la separación entre los centros de las dos imágenes formadas y si este resulta igual al radio de Airy entonces se puede afirmar que efectivamente son dos imágenes, es decir de haber obtenido otro resultado ¿Ya no serian dos imagenes? de ser asi ¿cómo calculo los diametros?

Espero me aclaren un poco mas estas dudas que tengo pues estoy medio perdido en este tema.

[aLFRe]

Re: Criterio de Rayligh

Hola ... bueno no me queda muy claro lo que me has explicado

Hola, le cuento como he planteado el problema.

pero segun lo que puedo entender es que quieres decir que los dos diametros que se forman son iguales al doble del radio del disco de Airy es decir a 0,048mm.

1. He considerado dos fuentes puntuales incoherentes, para que no interfieran.
2. Como están muy alejadas sobre la lente cada fuente da lugar a una
onda que se puede suponer plana, o sea el vector de onda es paralelo
al eje del sistema óptico... en este caso el eje de revolución de la lente
que considero circular.
3. En ausencia de difracción, cada fuente puntual
daría una imagen puntual, que se puede calcular por la ley de Gauss...
aunque se puede suponer que si son ondas planas...
la imagen aparecerá en el foco imagen de la lente aproximadamente.
Si las fuentes están separadas 6 mm.
cada una está a 3 mm. del eje,
luego usando el aumento lateral
se obtiene la posición sobre el eje de la primera imagen...
a mi me sale 0,012 mm.
la separación entre las dos imágenes será el doble de la primera cantidad.
0,024 mm.
todo de óptica paraxial.

Tambien mencionas que si se resuelven dos imágenes entonces siempre va a ser 0,024mm la separación entre sus centros según el criterio de Rayleigh, entonces según veo los datos que me dan son solamente para determinar la separación entre los centros de las dos imágenes formadas y si este resulta igual al radio de Airy entonces se puede afirmar que efectivamente son dos imágenes, es decir de haber obtenido otro resultado ¿Ya no serian dos imagenes? de ser asi ¿cómo calculo los diametros?

4. La difracción en este caso se debe a la superficie externa
( la montura de la lente) la imagen en este caso es una distribución
de intensidades con simetría azimutal,
puesto que la lente es delgada y circular
Los mínimos de intensidad vienen aparecen para aquellos radios
( multiplicados por un factor creo que era $\frac{2\pi}{\lambda}$
pero esto con "", tendría que mirarlo )
correspondientes a los ceros de la función
de la función de Bessel de orden 1.
La teoría dice que toda la intensidad está entre el punto central de la imagen
y el radio del primer cero, a esto se le llama el disco de Airy.

5. El criterio de Lord Rayleigh dice que dos imágenes son discernibles
si la distancia entre los centros de sus discos de Airy son iguales
al radio de ese disco de Airy, por lo cual se calcula
la separación entre las dos imágenes y lo igualo al disco de Airy.
PARA ESTE CASO el radio de Airy será 0,024mm
Se ha supuesto que estamos en el caso límite...
en el cual esto se puede hacer...
Si fuesen menos identificable los dos puntos,
el disco de Airy sería aún mayor.

Espero me aclaren un poco mas estas dudas que tengo pues estoy medio perdido en este tema.

Quería comentarle un par de cosas:
a. la forma en la que yo lo he hecho es
como yo lo haría... no doy garantias de que sea la correcta...
b. El criterio de Lord Rayleigh bién formulado es
que la distancia entre los centros de las 2 imagenes obtenidas por
difracción sea mayor que la suma de las distancia a la cual
la intensidad cae a 1/2...
lo que pasa es que en este caso se suponen fuentes idénticas
y se supone imágenes de difracción idénticas
y se puede igualar esto al radio del disco de Airy.

En la esperanza de que le haya aclarado algo, le envio un saludo.

[[Beto]]

Re: Criterio de Rayligh

Gracias ahora si he comprendido mucho mejor