Matlab Ecuación ondas

[Rilex]

Buenas estoy tratando de resolver la ecuación de ondas (soy de primer curso), y llega un momento que no se que hacer

Tenemos la ecuación:

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}<br />$

Discretizamos el espacio, tal que

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{{u}_{ n+1}-{u}_{ n}}{a}$

simetrizamos (no se lo que es pero asi me dijo el profesor)

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}= \frac{1}{a }(\frac{{u}_{ n+1}-{u}_{ n}}{a}-\frac{{u}_{ n}-{u}_{ n-1}}{a})$

que queda tal que así

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{{u}_{ n+1}+{u}_{ n-1}-2{u}_{ n}}{a^2}$

Ahora ya queda poco,

$\frac{\partial^2 {u}_{ n}(t)}{\partial t^2}=v^2\frac{{u}_{ n+1}(t)+{u}_{ n-1}(t)-2{u}_{ n}(t)}{a^2}$

todo en función de t, y ahora es donde me pierdo y no se como poner en matlab:

$U= \begin{pmatrix}{u}_{ 0}(t) \\ {u}_{ 1}(t) \\ ...\\...\\ {u}_{ n}(t) \\ {u}_{ n+1}(t)\\ {u}_{ N}\end{pmatrix}$

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2 \begin{pmatrix}-2 & 1&0 \\1 & -2 & 1 &0& ...\\0&1&-2&1&...\\0&0&1&-2&1&0&..\\ ... \\ .\\ .&.&.&.&.&.&.&...\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{u}_{ 0}(t) \\ {u}_{ 1}(t) \\ ...\\...\\ {u}_{ n}(t) \\ {u}_{ n+1}(t)\\ {u}_{ N}\end{pmatrix}$

Tal que la dimensión de la matriz primera sería n x n+1 y la segunda n+1 x 1, si no me equivoco, donde $n$ serían los u que calcularemos, ya que para calcular ${u}_{ n}$ necesito saber ${u}_{ n+1}$

He intentado un bucle for utilizando el método de euler pero claro le doy el dato de u(1), pero para calcular u(2) me dice que falta u(3)...

V=3; %343
a=1;
t0=0;
dt=10;
tf=100;
t=t0:dt:tf;
n=0:a:10;


v(1,1)=0;
u(1,1:length(n)-1)=0;








for i=1:length(t)-1
for j=1:length(n)

v(i+1,j)=v(i,j)+dt*(V^2*((u(i,j+2)+u(i,j)-2*u(i+1,j+1))/a^2));
u(i+1,j)=u(i,j)+dx*v(i,j);

plot(t,u,'ro')
pause(dt)
end
end


Voy muy perdido no? jaja