2o ciclo Relacion de recurrencia (Polinomios de Bernoulli)

[rruisan]

Buenas tardes tengo la siguiente serie:

$\frac{xe^{xs}}{e^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}B_n(s)\frac{x^n}{n!}$

Necesito demostrar que con esto obtengo:

$\frac{dB_n}{dx}(s)=nB_{n-1}(x)$

Se que tengo que derivar a las serie con respecto a $s$ pero de ahi no se que hacer. Cualquier sugerencia se los agradeceria.

[[Beto]]

Re: Relacion de recurrencia (Polinomios de Bernoulli)

Hola, la idea para que pruebes eso es la siguiente:

Tienes que tomar en cuenta que $B_n$ es el unico polinomio mónico de grado $n$ que satisface la ecuación funcional de Lehmer, reemplazas en esa ecuación y derivas a ambos lados. Por otro lado nota que $B_{n-1}$, cumple dicha ecuación.

Al final tendrás que notar que si $B_{n-1}$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , satisfacen la ecuación funcional de Lehmer, entonces por unicidad de la solución son iguales.

[rruisan]

Re: Relacion de recurrencia (Polinomios de Bernoulli)

Gracias Beto! te agradeceria si me puedes explicar mas! desconozco la funcional de Lehmer y no se a que te refieres en este sentido! gracias de antemano!

[[Beto]]

Re: Relacion de recurrencia (Polinomios de Bernoulli)

Gracias Beto! te agradeceria si me puedes explicar mas! desconozco la funcional de Lehmer y no se a que te refieres en este sentido! gracias de antemano!

Hola, la ecuación funcional de Lehmer es la siguiente:

$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}f\left(x+\frac{k}{m}\right)=m^{-n}f(mx)$$

Se puede mostrar que:

Existencia:

Existen polinomios de grado $n$ en $x$, que satisfacen la ecuación de Lehmer.

Unicidad:

Existe un único polinomio mónico de grado $n$ que satisface la ecuación de Lehmer.

Teorema:

La sucesión de soluciones de la ecuación funcional de Lehmer es la sucesión de polinomios de Bernoulli.

Ahora tomando en cuenta todo esto (qué también lo podrías probar si deseas, pero es algo largo el procedimiento) puedes hacer lo que te piden de la siguiente manera:

Consideras un polinomio mónico de grado $n$, al que podemos denotar casualmente por $B_n$, entonces reemplazando en (1), y derivando tienes:

$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}B'_n\left(x+\frac{k}{m}\right)=m^{-n+1}B'_n(mx)$$

luego multiplicando por $\dfrac{1}{n}$ a ambos lados:

$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}\left(\frac{1}{n}B'_n\left(x+\frac{k}{m}\right)\right)=m^{-n+1}\left(\frac{1}{n}B'_n(mx)\right)$$

Por otro lado para un polinomio de grado $n-1$, es decir $B_{n-1}$, que es solución de la ecuación funcional de Lehmer (esto por el teorema antes mencionado):

$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}B_{n-1}\left(x+\frac{k}{m}\right)=m^{-n+1}B_{n-1}(mx)$$

Finalmente por la unicidad y existencia de soluciones llegas a concluir lo que te piden mostrar.

[aperea]

Re: Relacion de recurrencia (Polinomios de Bernoulli)

Tambien se puede derivar ambos lados respecto a s, y renombrar el indice mudo en uno de ellos. El resultado es directo, me parece que para esta propiedad no depende que Bn sea un polinomio.