Otras carreras Duda sobre áreas

[furiouslogic]

f(x) = x
g(x) = x^2 + y ^2 = 16

¿Cuál de estas 2 gráficas es el área comprendida entre f(x), g(x) y el eje x?

a)


b)

Según mi solución es la respuesta A porque en la pregunta nada indica que solo se consideren las áreas por encima del eje x.
Además si despejamos y de la segunda función nos queda una +/- raiz. Ambos, positivo y negativo y no solo la parte positiva (que sería la gráfica en los cuadrantes 1 y 2).

Finalmente, para obtener las areas podríamos utilizar geometría básica o integrales:

Con geometría:
$A = \frac{2}{8} \pi \cdot (4)^2 = 4\pi$

Con integrales:
$A = \int_{0}^{4} \sqrt{16-x^2} dx = 4\pi$

¿es correcta mi solución? ¿Alguna recomendación?

Gracias

[electr0n]

Re: Duda sobre áreas

Hola.

Geométricamente sale fácil, pero con integrales no lo tienes bien.

Debería ser algo así:

$<br /> \displaystyle A_1=\left|\int_{-4}^0xdx\right|-\left|\int_{-4}^{-\sqrt{8}}\left(-\sqrt{16-x^2}-x\right)dx\right|=2\pi<br />$

$<br /> \displaystyle A_2=\int_{0}^4xdx-\int_{\sqrt{8}}^{4}\left(x-\sqrt{16-x^2}\right)dx=2\pi<br />$

$<br /> A=A_1+A_2=4\pi<br />$

En el primer caso hemos tenido en cuenta que las áreas salen negativas y hay que usar valor absoluto. Como las curvas se cortan en [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $-\sqrt{8}$, es necesario considerar los dos tramos, y por supuesto el área sobrante es la integral de una función menos la otra.

Un saludo

[furiouslogic]

Re: Duda sobre áreas

Hola,

Gracias por responder, pero te comento que la pregunta es (está al inicio del post) "¿Cuál de estas 2 gráficas es el área comprendida entre f(x), g(x) y el eje x?". Luego escogí la alternativa A y seguido, calculo el área de esa alternativa A utilizando 2 métodos: el geométrico y el integral por lo que en ambos métodos el resultado (de la alternativa A) debe ser idéntico $4 \pi$

Pero insisto en la pregunta: "¿Cuál de estas 2 gráficas es el área comprendida entre f(x), g(x) y el eje x?". La A) o la B)

[electr0n]

Re: Duda sobre áreas

Hola de nuevo,

Bueno, está bien tu deducción de que es la A porque efectivamente no se indica que haya áreas por encima o debajo del eje x. Pero cuando preguntas si es correcta tu solución, te digo que por integración no lo tienes bien hecho (aunque el resultado sea bueno), y en mi post tienes el procedimiento correcto

Saludos

[Al2000]

Re: Duda sobre áreas

Lo que te quiso decir electr0n es que si bien tu integral te dió el resultado correcto, fue pura casualidad. Con la integral$\dst \int_0^4 \sqrt {16-x^2}dx$ lo que estás calculando es el área del 1/4 de círculo en el primer cuadrante, que por supuesto resulta igual al área de los dos octavos de círculo de tu dibujo. El área del octavo de círculo en el primer cuadrante es

$$\int _0^{2 \sqrt 2} x \, dx + \int_{2 \sqrt 2}^4 \sqrt {16-x^2}dx = 2 \pi$$

Saludos,

Al

[furiouslogic]

Re: Duda sobre áreas

Hola,

Sí entendí el procedimiento. Con la indicación de la integral que puse evité hacerlo al detalle asumiendo que de acuerdo a la gráfica el resultado se sobreentendería. No obstante, para ser estrictos la suma (o diferencia) de integrales es como debiera plantearse. Correcto.

muchas gracias,