1r ciclo Extensión del Teorema de Euler

[Hardy el paradojico]

Hola .
tengo una duda sobre esta demostración

si $f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$ es de clase $C^2$ y homógenea de grado p, probar que:

$x^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+2xy\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}+y^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=p(p-1)f$


Esto es lo que intente :

utilizando que es homógenea
se verifica $f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{p}f(x,y) \lambda>0$ (1)
Creo que la manera de demostrarlo es derivando dos veces cada miembro de la igualdad y ver que se cumple la tesis, si es así el problema es de derivar, si me pueden ayudar ya que me salen cosas un poco raras.

Como es de clase $C^2$ será dos veces derivable
entonces derivo cada miebro de (1) obteniendo en cada caso:
$f''(\lambda x,\lambda y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}.\frac{\partial x}{\partial\lambda}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial^{2}x}{\partial\lambda^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\frac{\partial x}{\partial\lambda}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial^{2}y}{\partial\lambda^{2}}$
Que me da que no está bien..

y derivando dos veces el segundo miembro de (1) obtenemos $(\lambda^{p}f(x,y))''=\lambda ^p f(x,y)2[\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}]$
que supongo que tampoco está bien.

muchas gracias por vuestro tiempo y un saludo

[aperea]

Re: Extensión del Teorema de Euler

Al ver el lado derecho de la ecuación p(p-1)f, ya tenemos una idea de por donde empezar, dado que este término vendria de la derivada segunda de f(lambda*x,lambda*y) respecto lamdba. Sólo queda entonces aplicar la regla de la cadena, para pasar las derivadas respecto a lambda, a derivadas respecto a x e y. Queda un punto por resolver para resolver el problema, renombrar las variable independientes, para llegar a la expresión del enunciado.

[Hardy el paradojico]

Re: Extensión del Teorema de Euler

gracias aperea!