Divulgación demostar que el PI es la unica solucion

[proton]

Hola,

Disculpen tengo una duda para todos los matematicos
Exite algun teorema, formula o algo por el estilo que demuestre que la unica forma de medir el area del circulo?

Es decir que les pasa ,es que a todos los maestros de matematicas que les intento explicar mi idea de hecho antes de que epiece ya se cerraron con la idea de que no se pude, y dicen que solo con el PI y a todos los que no les explico pero que saben que los estoy intentando tambien me dicen que es imposible.
Comprendo que digan que digan que es la unica posibilidad pero me lo pueden demostrar o no??
Por que la verdad ya me canse.. fue dificil tener la idea pero de que me sirve si no quieren escuchar??
No tengo formula..ni demostracion numerica pero estoy totalmente seguro que si encaja todas las ideas solo que no puedo aplicarlas por que no se trigonometria ( nesecito calcular el valor de un lado del triangulo solo sabiendo cuando miden los otros dos lados y el angulo que esta en medio de ellos) .. aun que si puedo demostar que no importa el valor de los valores que nesesite todo encaja ya que mi vase estan en los grados del circulo he incluso suponiendo que unos de mis resultados son grados con decimales tengo la posibilidad de omitir esos decimales y otra vez hacelo exacto y como no tengo diviciones no creo que me vallan a resultar algun numero infinito

Bueno si me pueden explicar por que piensan que creen que PI es la unica solucion seria Genial... no que me demuestren como obtienen PI, solo por que es la unica solucion

[Al2000]

Re: demostar que el PI es la unica solucion

Mira, le puedes dar todas las vueltas al asunto y formular todas las explicaciones y teorías pero el hecho fundamental es que si tu mides la circunferencia de un círculo (grande, chiquito, mediano...) y la divides entre el diámetro del círculo siempre obtienes 3.141 592 653... ¿Tiene ésto alguna explicación mas fundamental que simplemente es así porque es así? Tal vez, no lo sé, pero siempre llegaremos a algun hecho fundamental del cual tendremos que decir es así porque es así.

¿Tienes creencias religiosas? Puedes apuntar con tu dedo a tu creador y decirle "es culpa tuya". ¿No tienes creencias religiosas? Entonces lo aceptarás como un hecho fundamental, sin menoscabo de hacer intentos de conseguir algo mas fundamental que explique este hecho, and so on...

Saludos,

Al

[Entro]

Re: demostar que el PI es la unica solucion

Eso se demuestra fácil, tu te coges formulas el problema matemáticamente, te plantas una simpática integral y observas que pasa... no te libraras del número pi cuando calcules el área de un círculo.

[ser humano]

Re: demostar que el PI es la unica solucion

Te agradezco por realizar la pregunta, porque hasta ahora no se me habia ocurrido nunca intentar demostrar eso. Mi idea era demostrar el resultado solicitado con lois elementos mas simples que pudiese. Me di cuenta que Pitagoras aborrecia dicho numero, no por sus implicaciones, sino por lo esquivo que es .
Falle en mi intento de determinar que el cociente del perimetro y el diametro es $\pi$ . Pero lo que si pude probar es que el cociente del perimetro y el diametro de toda circunferencia es el mismo, y por lo tanto es suficiente con que se mida experimentalmente dicho cociente para poder generalizar. Es analogo a una prueba por induccion, pero sin seguir el algoritmo.
Pensemos dos circunferencias concentricas, de radios arbitrarios $R$ y $r$. Tomemos una seccion muy pequeña de la circunferencia de mayor radio, y tracemos la cuerda correspondiente a dicho arco . Esta cuerda, como el arco es muy pequeño, tiene una longitud que es en buena aproximacion la del propio arco (longitud $A$).
De los extremos de la cuerda, trazamos dos rectas que pasen por el centro de la circunferencia. Las rectas tienen una diferencia angular $\theta$, que vale notar que es muy pequeña.
Si el lector pudo visualizar bien la situacion, podra notar que dichas rectas tambien pasan a travez de la otra circunferencia, delimitando a un arco de esta, el cual tiene una cuerda que por los mismos motivos de antes, tiene una longitud muy semejante al arco en cuestion (longitud $a$).
Hay que notar que como el angulo $\theta$ se encuentra $n$ veces en un giro, y como este es el que establece los limites de los arcos (y de las cuerdas, que de ahora en adelante los tomare como lo mismo por lo ya expuesto) y por lo tanto por cada $\theta$ que hay, hay un arco de longitud $A$ o $a$ (de acuerdo cual sea el caso), hay $n$ arcos en todo el perimetro. Entonces (si $P$ es el perimetro de la circunferencia de mayor radio y $p$ el de menor):

$\dfrac P n = A$

$\dfrac p n =a$

y por lo tanto

$$\dfrac A P = \dfrac a p$$

Cada una de las cuerdas con las rectas, forman un triangulo isoceles, cuyo angulo no repetido es $\theta$. Por el teorema del seno:

$\dfrac A {\sin \theta}=\dfrac R {\sin \alpha}$

$\dfrac a {\sin \theta}=\dfrac r {\sin \alpha}$

Siendo $\alpha$ uno de los angulos que esta repetido en dichos triangulos.
De estas dos ecuaciones:

$$\dfrac R A = \dfrac r a$$

Ahora supongamos que para la circunferencia de mayor radio se verifica

$$\dfrac P {2R} = \pi$$

De (1), tenemos que $p= \dfrac {aP}A$

De (2) tenemos que $r=\dfrac {aR}A$

Y de (3) $P=2\pi R$

Entonces

$p= 2\pi \dfrac {a R}A = 2\pi r$

y por lo tanto $\dfrac p{2r} =\pi$

Ahora, si en cambio de suponer que la circunferencia de radio mayor es la que cumple con lo dicho, suponemos que la de menor radio lo hace, es decir

$$\dfrac p {2r}=\pi$$

, de manera analoga:

De (1) $P=\dfrac{Ap}a$

de (2) $R=\dfrac {Ar}a$

de $(3_1)$ $p =2r\pi$

entonces:
$P=2\pi \dfrac{Ar}a = 2 \pi R$ y por lo tanto $\dfrac P {2R}=\pi$

De esta forma, podemos notar que con medir una unica vez en nuestra vida el perimetro de la circunferencia, y dividirlo por su diametro (y notar que su velor es aproximadamente 3,14), ya se puede afirmar que todas las circunferencias mas grandes y mas pequeñas que esta (es decir, todas) cumplen con dicha propiedad.

Me hubiese gustado llegar al valor de $\pi$ de forma analitica, como ya dije, pero no pude.

Leyendo el comentario de Entro, y luego leyendo nuevamente tu mensaje, me parece que entendi mal, y que vos no querias saber exclusivamente sobre $\pi$, sino que querias saber sobre la aplicacion de este para obtener el area. Supongo que no te tengo nada que agradecer entonces, todo el merito es para mi malentendido .

Saludos