1r ciclo ¿porque 1 elevado a la infinito no es uno?

[HodracirK]

1 ^ 2 = 1
1 ^ 3 = 1
1 ^ 4 = 1
1 ^ 10 = 1
1 ^ 100 = 1
1 ^ 999 = 1
1 ^ 10000000000 = 1
1 ^ 99897878787845045410873 = 1

Pero 1 ^ infinito no es uno...

Mi profesor me dice que es porque infinito no es un numero, si no un concepto.. pero la explicación no me convence.
¿Alguno me podría ayudar aclarando esto?

Gracias y saludos!!

[electr0n]

Re: ¿porque 1 elevado a la infinito no es uno?

Hola.

Yo creo que el fallo está en que realmente "uno elevado a infinito" no es una expresión correcta, al igual que tampoco lo son "cero elevado a cero" o "infinito elevado a cero"; más bien son reglas mnemotécnicas típicas para la resolución de límites.

En tu ejemplo, "$1^{\infty}$" no significa nada porque efectivamente el infinito no es un número sino un concepto de tendencia. Lo que tiene sentido es esto:

$<br /> \lim_{n\to\infty}1^n=1<br />$

porque lo que tiende al límite es únicamente el exponente, mientras que la base permanece constante. Sin embargo, este otro límite ya no es 1:

$<br /> \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e<br />$

De la misma forma, muchos otros límites que aparentan la forma "uno elevado a infinito" tienen como resultado 0, 1, o cualquier potencia de $e$.

En definitiva, si tienes un 1 elevado a algo que TIENDE a infinito, claramente el resultado es 1. Si tienes algo que TIENDE a 1 elevado a algo que TIENDE a infinito, el resultado puede ser otra cosa en función de la rapidez con la que la base o el exponente avanzan cuando $n\rightarrow\infty$.

Espero haberte aclarado.

Un saludo!

[Adosgel]

Re: ¿porque 1 elevado a la infinito no es uno?

¿Sabes lo que es un "ilusionista"?, pues en las matemáticas, esto se da a menudo cuando mezclas sucesiones infinitas con límites tendiendo a infinito.

En internet tienes demostraciones de por qué es una indeterminación como algo concluido. Pero la cuestión es que si metemos el infinito como parte del método, estamos diciendo con ello que el método no tiene fin, no es concluible, sino que es un proceso inacabable.

Cuando utilizamos el concepto de "cuando el límite tiende a infinito", en realidad es lo mismo que decir que el proceso carece de límite. El problema es que con ello no queremos decir en este caso que la solución no se pueda determinar; puesto que en este caso el proceso no evoluciona cuantitativamente, ya que estamos refiriéndonos a un proceso no cambiante 1^.., tu mismo lo acabas de demostrar.

Este comentario es personal, pero me creo con el derecho de la lógica a hacerlo; y si no, que me demuestre alguien que existe una fase del proceso concreta en la que 1 evoluciona a indeterminado, para demostrar así que se pierde su concreción cuantitativa y excusar la indeterminación resultante en la aplicación del método por límites.

Podéis probar con un ejemplo de sucesiones infinitas que evolucione cuantitativamente, incluso en los que el valor va saltando de signo. Siempre hay una evolución cuantitativa que te lleva a "casi" ese valor definitivo. Y la aplicación de los límites para las sucesiones es con el fin de asumir como cierto el límite y desechar el resto del proceso infinito.
En muchos casos, las soluciones de los pasos intermedios de la sucesión dan saltos que van definiendo una imagen matemática en un espacio complejo, pero sigue habiendo una evolución de los valores cuantitativos.

El problema de este caso es que 1^n, representado por una sucesión (1(1)·1(2)·1(3)·..... ·1(n)) es un proceso esteril, sea n un valor concreto o sea infinito. En sí, ni siquiera es una operación; solo es una constatación. Podemos estar asumiendo esta constatación de "1 una vez", infinitas veces, pero siempre constatamos que el valor 1 no cambia; y este es el razonamiento directo y básico del proceso. Para mí lo demás es ilusionismo involuntario.

Saludos.

[juantv]

Re: ¿porque 1 elevado a la infinito no es uno?

No es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número

[HodracirK]

Re: ¿porque 1 elevado a la infinito no es uno?

Gracias!!!

[andrewcraig]

Re: ¿porque 1 elevado a la infinito no es uno?

Buenas explicaciones,

Sólo comentar que en topología se introduce a veces el punto infinito a los reales y los complejos para poder trabajar con un espacio compacto. En este caso si sería una entidad "real" este infinito.

[aperea]

Re: ¿porque 1 elevado a la infinito no es uno?

1/2 elevado a infinito es cero, 2 elevado a infinito es infinito, luego 1 elevado a infinito es un numero finito, e igual a 1.