2o ciclo Funcion Gamma 2

[rruisan]

Buenas tardes! tengo 3 problemas que no he podido resolver les agradeceria cualquier consejo! Gracias de antemano!

1. Muestre que $\Gamma(z)$ puede ser escrita como

$\Gamma(z)=\int_{0}^{1}\left[\ln \left(\frac{1}{t}\right)\right]^{z-1}dt$

2.- Muestre que:

$\int_{0}^{\infty}x^{2s+1}e(-ax^2)dx=\frac{s!}{2a^{s+1}}$

3.- Para una s no negativa, muestre que:

$(-2s-1)!!=\frac{-1^s}{(2s-1)!!}=\frac{(-1)^s}{(2s-1)!!}=\frac{(-1)^s2^ss!}{(2s)!}$

[Hardy el paradojico]

Re: Funcion Gamma 2

hola para la primera haz el cambio $u=\ln\left(\frac{1}{t}\right)\Rightarrow du=-dt/t\rightarrow-e^{-u}du=dt$

los límites quedarán $t\in(0,1)\rightarrow u\in(\infty,0)<br />$
sustituyendo queda [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y ya está.
para las demás ahora no tengo tiempo, tengo que irme ya

un saludo

[Hardy el paradojico]

Re: Funcion Gamma 2

Hola de nuevo:
En el segundo yo pienso que habrás querido decir esto

$\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^{2s+1}e^{-ax^{2}}dx$
haciendo el cambio $u=ax^2$ los limites de integración quedan igual
y la integral de partida queda$<br /> {\displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{2s+1}e^{-ax^{2}}dx=\frac{1}{2a^{s+1}}\int_{0}^{\infty}u^{s}e^{-u}du=\frac{1}{2a^{s+1}}\Gamma(s+1)}$ que es igual a lo que tu pusiste si suponemos que $s\in\mathbb{N}$

cuando quieres calcular integrales por medio de las funciones eulerianas y no tienen la expresión típica de estas, una truco que ayuda mucho es pensar en los limites de integración a la hora de saber que cambio conviene hacer, por ejemplo para el primer problema que planteaste los limites eran (0,1) , que debes de "convertirlo " por decirlo de alguna manera en un ( 0, $\infty$) miras el integrando y ves que hay un logaritmo ya está , el cambio debe involucrar al logaritmo... así más o menos con todas

y la tercera no sé...

un saludo