1r ciclo Fórmula de Green

[arreldepi]

Hola, tengo un ejercicio en el que me piden calcular la integral

$$I=\int_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r$$

donde

$$\vec a = (\eee{x}\sin y -y)\hat \imath + (\eee{x}\cos y-1)\hat\jmath;$$

y $\gamma$ es la semicircunferencia superior $x^2+y^2=2x$ recorrida en la dirección que va del punto $(2,0)$ al $(0,0)$

No sé qué hago algo mal... la cuestión es que a mí me da $2\pi$ y la solución es $\pi/ 2$, os digo lo que hago.

La fórmula de Green dice que

$$\oint_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r = \iint_\mathcal S\left({\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right)\dd x\dd y$$

Si P es la componente x del campo y Q la componente y, me queda que

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$$

Así que lo que tengo que integrar es

$$\iint_S\dd x\dd y$$

y lo que hago es un cambio a polares

$$I=\int_0^\pi\dd\phi\int_0^2\rho\dd\rho = \pi\left[\frac{\rho^2}{2}\right]_0^2 = 2\pi$$

No sé si estoy cogiendo mal los límites de la integral o qué, es que esto de ver cuál es el camino en general me cuesta un poco...


Saludos y muchas gracias!

[arreldepi]

Re: Fórmula de Green

He probado de hacerlo sin pasar a polares haciendo esta integral

$$\int_0^2\dd x\int_0^{\sqrt{2x-x^2}} \dd y = \frac\pi 2$$

Así que supongo que al cambiar a polares hago algo mal :s, pero no veo el qué...

[arreldepi]

Re: Fórmula de Green

Dish... acabo de ver dónde esta el error...

$$x^2 + y^2 = 2x \qquad\to\qquad r = 1 \neq 2$$

entonces ya cuadra...

De todos modos, por qué dice que es recorrida en la dirección que va del punto (2,0) al (0,0)?

Gracias!

[Hardy el paradojico]

Re: Fórmula de Green

hola

Cuando tengas $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$ lo que tienes que pensar en el área de la región y ya está.

Por qué dice que es recorrida de (2,0) a (0,0) pues porque esta es la dirección de la trayectoria de la integral de linea para que se cumpla el teorema de Green ( sentido contrario de las agujas del reloj) si no fuera asi no se podria aplicar el teorema.

un saludo

[arreldepi]

Re: Fórmula de Green

Gracias! Sí, sabía que era el área pero quería calcularlo para ver si me salía . Sobre lo del recorrido se refiere a ir de (2,0) a (0,0) siguiendo el arco, no? Es que al principio creía que se refería a la recta y no me cuadraba...

Saludos!

[Metaleer]

Re: Fórmula de Green

Gracias! Sí, sabía que era el área pero quería calcularlo para ver si me salía . Sobre lo del recorrido se refiere a ir de (2,0) a (0,0) siguiendo el arco, no? Es que al principio creía que se refería a la recta y no me cuadraba...

Saludos!

En efecto, tienes que usar la circunferencia para realizar la integral de línea. Observa que la diferencia de derivadas parciales no es , y por tanto el campo vectorial no es conservativo, y no basta con que te den los puntos inicial y final.

Por otra parte, el Teorema de Green-Riemann exige que se integre a lo largo de una curva de Jordan (simple y cerrada), y el arco de circunferencia entre esos dos puntos no define una curva cerrada; tienes que cerrarlo y luego restar, que se demuestra de la siguiente manera:

$\displaystyle \oint_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r = \int_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r + \int_{OX} \vec a\cdot\dd\vec r = \iint_\mathcal S\left({\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right)\dd x\dd y,$

donde la integral cerrada $\oint_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r$ se ha descompuesto en dos otras, la que quieres calcular, $\int_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r$ y la integral a lo largo del eje $OX$ que une el origen con $(2, 0)$. Así,

$\displaystyle \int_\gamma \vec a\cdot\dd\vec r = \iint_\mathcal S\left({\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}}\right)\dd x\dd y - \int_{OX} \vec a\cdot\dd\vec r,$

pero $\int_{OX} \vec a\cdot\dd\vec r, = 0$, ya que para el eje OX, puedes expresar esta integral de la siguiente manera:

$\displaystyle \int_{OX} \vec a\cdot\dd\vec r = \int_0^2 \overbrace{(\eee{x}\sin y -y)}^0 dx + (\eee{x}\cos y-1)\underbrace{dy}_0 = 0,$

donde $y = 0 \Rightarrow dy = 0.$ Luego lo único que queda es lo que pusiste originalmente, pero sin formalizar que el trozo rectilíneo no aporta nada al resultado final.

Por tanto, te queda la integral doble. He comprobado que en efecto, la resta de derivadas parciales da 1, y tienes que calcular el área de esa circunferencia. Yo es que me lo sé de memoria (tú también, seguro ), y como se trata de media circunferencia de radio unidad, tiene que darte $\frac{\pi}{2}.$ En cartesianas veo que te ha salido, en polares veamos cómo sería; tienes que el cambio de variable será

$\displaystyle x = 1 + \rho \cos \theta$

$\displaystyle y = \rho \sin \theta$

donde $\rho \in [0, 1]$ y $\theta \in [0, \pi]$, con valor absoluto de determinante Jacobiano dado por $\displaystyle \frac{\partial(x, y)}{\partial(\rho,\theta)} = \rho$. La razón de ser de este cambio de variable es la siguiente: nuestra circunferencia la podemos expresar como $(x - 1)^2 + y^2 = 1$, completando cuadrados, luego si cogemos $x - 1 = \rho \cos \theta$ e $y = \rho \sin \theta$, obtenemos el cambio citado. Total, tienes que

$\displaystyle I = \iint_S\dd x\dd y = \int_0^{\pi} \int_0^1 \rho d \rho d\theta = \int_0^1 \rho d \rho \int_0^{\pi} d\theta = \frac{1}{2} \pi = \frac{\pi}{2}.$

Saludos.

[arreldepi]

Re: Fórmula de Green

Muchas Gracias Metaleer! Me ha quedado todo muy claro!