Secundaria Problema de optimización

[Crstinacq]

Hace poco más de un mes los alumnos de 2º de Bachillerato hicimos las pruebas de acceso a la universidad. En Catalunya, el examen de matemáticas era bastante fácil si se compara con el de otros años. La prueba constaba de 6 problemas de los cuales se tenían que escoger 5. A pesar de que todos parecían sencillos a primera vista, había uno que ya de entrada no se me ocurría ni por donde empezar, a pesar de ser de los temas que mejor llevaba.

Hoy me estaba mirando el examen y sigo sin saber hacer aquel ejercicio, y como no he encontrado las soluciones de los examenes por ninguna parte, he decidido exponeros el problema, por si alguien me puede ayudar a encontrar la solución. El enunciado es el siguiente:


Un segmento de longitud fijada m se apoya sobre los ejes de coordenadas. Calcula el valor del ángulo [FONT=Arial]α [FONT=Verdana]que forma el segmento con el eje OX para que el triángulo rectángulo determinado por el segmento con los ejes i del cual m es la hipotenusa tenga área máxima. Comprueba que se trata realmente de un máximo.

[/FONT][/FONT]

[DFP]

Re: Problema de optimización

Yo lo hice, pero no sé si estará bien. El caso es que saqué la función del área con la incógnita del ángulo, y la igualé a cero. De todas formas voy a ponerme a hacerlo que me aburro, y lo pasaré a latex que necesito práctica.
Saludos!

[GNzcuber]

Re: Problema de optimización

Hola Cristinacq y DFP,

No sé bien como lo habrás hecho "Dani" (Sé que no te llamás así :P), pero después de sacar el área en función de lo que quieras tienes que derivar e igualar a cero, sacas el valor, haces la segunda derivada y sustituyes para comprobar si efectivamente es máximo o mínimo. Todos los problemas de optimización siguen este esquema.

Empecemos con este:

Función área del triángulo:

$$\dst A=\frac{x\cdot y}{2}$$

Ahora buscamos una relación para obtener la función en una incógnita. Podemos utilizar por ejemplo $\dst m=\sqrt{x^2+y^2}$ y como m es una constante despejamos por ejemplo y,derivamos y tal. Podríamos usar también la relación con el ángulo mediante el seno. Pero teniendo una variable y la hipotenusa también podemos hallar lo que necesitamos.

$$\dst A(x)=\frac{x\cdot \sqrt{m^2-x^2}}{2}$$

Los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de inflexión) se hallan igulando la primera derivada a cero:

$$\dst A'(x)=\frac{\sqrt{m^2-x^2}}{2}(1-2x^2)=0\Rightarrow \quad x=m\, ,\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Aunque se puede ver a simple vista, haremos la segunda derivada para una comprobación matemática:

$$\dst A''(x)=\sqrt{m^2-x^2}(2x^3-3x)$$

Sustituyendo los valores:

$$\dst A''(x=m)=0 \longrightarrow \quad Inflexion$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
¡Saludos!

P.D.: Lo dejaré así, pero observad donde puse inflexión, realmente es un mínimo, y es que no siempre que la segunda derivada sea nula es un punto de inflexión, un ejemplo más claro es la función $\dst f(x)=x^4$.

P.D.2: Siempre me olvido de algo, el ángulo en este caso, ya sabemos cuánto tiene que valer x, para saber el ángulo tenemos la relación $\dst \cos(\alpha)=\frac{x}{h}$

[el monstruo del doctor frankenstein]

Re: Problema de optimización

A mi se me ocurre relacionar x e y con alfa mediante sin (alfa) = y/m y cos (alfa) = x/m.
Luego despejar x e y y sustituir en la fórmula del área A = xy/2.
Derivar e igualar a 0.
A continuación utilizar la identidad trigonométrica 2sinAcosA = sin2A.
Terminar.

Perdonad que no sea más explícito y me haya saltado algunos detalles. Creo que así sale. Si tenéis cualquier duda, ¡preguntad!.

[DFP]

Re: Problema de optimización

${\dst A = \frac {x y}2}$

${\dst sin a = \frac ym}$

${\dst cos a =\frac xm}$

A partir de aquí sustituímos en la función del área.

${\dst A(a) = \frac {msinamcosa}2}$

Derivamos e igualamos a zero para hallar un máximo o un mínimo, ya que el mínimo nos daría un angulo de 0º.

${\dst A'(a) = \frac 12 [m^2(cosa)^2-m^2(sina)^2] = 0}$


${\dst A'(a) = \frac 12 m^2[(cosa)^2-(sina)^2] = 0}$

${\dst A'(a) = \frac 12 m^2[1-(sina)^2-(sina)^2] = 0}$ (aquí hay una identidad trigonométrica)

${\dst A'(a) = \frac 12 m^2[1- 2(sina)^2] = 0}$

${\dst 2(sina)^2 = 1}$

${\dst a = 45}$

Comprobé que era máximo (el mínimo era a = 0º!).Y ahí lo dejé.

También tengo un amigo que directamente dijo, pues los dos lados tendran que ser iguales! Y se quedó tan ancho (será ingeniero ).

Creo que está bien, pero no me fio, revisalo si quieres asegurarte.

[DFP]

Re: Problema de optimización

Ala, me tiro media hora transcribiendolo y para cuando vuelvo el hilo está casi acabado!! jaja

Tengo que pillar soltura con latex que sinó me quedo arrezagado. Por cierto, yo ni siquiera pensé en Pitágoras en el exámen, pero la verdad es que también es sencillo.

PD: intentaré corregir las ecuaciones para que queden en grande.

[GNzcuber]

Re: Problema de optimización

A mi se me ocurre relacionar x e y con alfa mediante sin (alfa) = y/m y cos (alfa) = x/m.
Luego despejar x e y y sustituir en la fórmula del área A = xy/2.
Derivar e igualar a 0.
A continuación utilizar la identidad trigonométrica 2sinAcosA = sin2A.
Terminar.

Perdonad que no sea más explícito y me haya saltado algunos detalles. Creo que así sale. Si tenéis cualquier duda, ¡preguntad!.

No hace falta que creas mucho, está claro que sale también, es más lo haré con tu procedimiento que es más corto que el mío .

$$\dst \left.\begin{aligned}A=\frac{x\cdot y}{2}\\ x=m\cdot \cos(\alpha)\\y=m\cdot \sin(\alpha)\end{aligned}\right\}A(\alpha)=m^2\frac{\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)}{2}=m^2\frac{\sin(2\alpha)}{4}$$

Su derivada es más sencilla:

$$\dst A'(\alpha)=m^2\frac{\cos(2\alpha)}{2}=0\Rightarrow \cos(2\alpha)=0\left\{\begin{aligned}\alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\, rad\\ \alpha=\frac{3\pi}{4}+\frac{\pi}{2}k\, rad\end{aligned}\right.$$

Segunda derivada:

$$\dst A''(\alpha)=-m^2\sin(2\alpha)$$

Sustituyendo:

$$\dst A''\left(\frac{\pi}{4}\right)=-m^2<0\longrightarrow \quad Maximo$$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Bueno, ha salido más fácil y me está haciendo replantearme si mi primera solución está bien .

Gracias el monstruo del doctor frankestein, ya te podrías haber elegido un nombre más corto .

¡Saludos!

[Dj_jara]

Re: Problema de optimización

Ya lo has puesto en función del ángulo y lo has calculado mientras escribía este post.

$$\dst A'(x)=\frac{\sqrt{m^2-x^2}}{2}(1-2x^2)=0\Rightarrow \quad x=m\, ,\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Deberías revisar esa derivada. (lo cuál es fácil de ver porque obtienes una x que no depende de m, lo cuál de por si sólo ya no tiene sentido porque m podría ser menor que se 1/raíz(2) , aparte hay otra forma de verlo,calcular el valor del ángulo para que el área del triángulo es máxima, es lo mismo que calcular los lados del rectángulo que tiene como diagonal m que hace el área máxima y eso como supongo que ya sabréis se da para el cuadrado)

[GNzcuber]

Re: Problema de optimización

[TEX]...
También tengo un amigo que directamente dijo, pues los dos lados tendran que ser iguales! Y se quedó tan ancho (será ingeniero ).
...

Jajajajajaja, qué fácil es la vida a veces .

No te preocupes te mereces un agradecimiento .

[Crstinacq]

Re: Problema de optimización

$\dst A'(x)=\frac{\sqrt{m^2-x^2}}{2}(1-2x^2)=0\Rightarrow \quad x=m\, ,\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

En la derivada, el denominador no debería ser 4? (el denominador de la derivada ha de ser el cuadrado de la función del denominador de la función inicial).

En cualquier caso, muchas gracias por las diferentes maneras de solucionar el problema. Cuando vi el problema yo tampoco pensé en Pitágoras, buscaba alguna función que quedara en función del ángulo, pero la verdad, me parece mucho más sencillo así, pero claro, delante de la presión de estar haciendo un examen de selectividad, todo se ve muy distinto.

Gracias a todos!

[DFP]

Re: Problema de optimización

Oh! Un agradecimiento de GNzcuber .

Que bien sienta que te agradezcan el trabajo hecho! No digo lo de bien hecho porque he tardado medio siglo.

En cuanto a eso... vaaaa, dejad de quedaros conmigo con el latex. Deicidme, dónde está el programa de ecuaciones mágico que cálcula solo y con el que no tardas ni 5 minutos??

[DFP]

Re: Problema de optimización

$\dst A'(x)=\frac{\sqrt{m^2-x^2}}{2}(1-2x^2)=0\Rightarrow \quad x=m\, ,\quad x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

En la derivada, el denominador no debería ser 4? (el denominador de la derivada ha de ser el cuadrado de la función del denominador de la función inicial).

En cualquier caso, muchas gracias por las diferentes maneras de solucionar el problema. Cuando vi el problema yo tampoco pensé en Pitágoras, buscaba alguna función que quedara en función del ángulo, pero la verdad, me parece mucho más sencillo así, pero claro, delante de la presión de estar haciendo un examen de selectividad, todo se ve muy distinto.

Gracias a todos!

Es que como no está en función de las variables, se puede extraer como k, de esa forma se ahorra trabajo. También se puede hacer entera, pero da más problemas al ser más complejo. Fíjate que con los angulos he hecho lo mismo que GNzcuber y también he extraído, facilita mucho los cálculos.

...Creo...

[Crstinacq]

Re: Problema de optimización

Es que como no está en función de las variables, se puede extraer como k, de esa forma se ahorra trabajo. También se puede hacer entera, pero da más problemas al ser más complejo. Fíjate que con los angulos he hecho lo mismo que GNzcuber y también he extraído, facilita mucho los cálculos.

...Creo...

No sé si hablamos de lo mismo... Yo me refiero al paso 3 del primer procedimiento de GNzcuber

[DFP]

Re: Problema de optimización

No sé si hablamos de lo mismo... Yo me refiero al paso 3 del primer procedimiento de GNzcuber

No sé si el supermosquito que me acaba de picar me nubla la mente, pero yo diría que es el mismo proceso.

Dejarías ${\dst \frac 12} {\dst x \sqrt{m^2-x^2} = 0}$

Y ${\dst \frac 12}$ saldría como constante, ¿no?. Tan solo derivarías el producto.

PD: Si me estoy equivocando y encima lo hago vehementemente me disculpo por adelantado .

[GNzcuber]

Re: Problema de optimización

¿No se os había ocurrido hacerlo con Pitágoras? Pues qué bien, porque la derivada primera y segunda son bastante más complejas que lo que puse:

Primero que nada, no hagáis como yo, usad "la regla de la cadena".

$$\dst A(x)=\frac{x\cdot \sqrt{m^2-x^2}}{2}$$

$$\dst A'(x)=\frac{\sqrt{m^2-x^2}}{2}-\frac{x^2}{2\sqrt{m^2-x^2}}$$

Igualando a cero y despejando x:

$$\dst A'(x)=0\rightarrow \frac{\sqrt{m^2-x^2}}{2}=\frac{x^2}{2\sqrt{m^2-x^2}}\Rightarrow m^2-x^2=x^2\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x=\frac{m}{\sqrt{2}}\\x=-\frac{m}{\sqrt{2}}\end{aligned}\right.$$

Segunda derivada:

$$\dst A''(x)=-\frac{x}{2\sqrt{m^2-x^2}}-\frac{4x\sqrt{m^2-x^2}+\frac{2x^3}{\sqrt{m^2-x^2}}}{4(m^2-x^2)}=-\frac{3x(m^2-x^2)+x^3}{2\sqrt{m^2-x^2}^3}$$

Ahora hay que sustituir los valores... o podríamos confiar en que está bien, ya que tenemos una alternativa más simple... va, voy a sustituir los ***** valores :

$$\dst A''\left(\frac{m}{\sqrt{2}}\right)=-2<0\longrightarrow \quad Maximo$$

Y la segunda:

$$\dst A''\left(-\frac{m}{\sqrt{2}}\right)=-1<0\longrightarrow \quad Maximo$$

¡Listo! Espero que hayan plazas porque me vuelvo al bachillerato... y esta vez hago uno de letras! .