Otras carreras Uno de analisis vectorial

[juantv]

Si r es la magnitud del vector que va del origen al punto (x,y,z) , demuestre que :

$\dst \nabla\cdot\vec F(\vec r) = \frac{\vec r}{r}\cdot \frac{d \vec F}{dr}$

Mi duda es , si alguno ya se ha topado con esto, sabes si es cierto lo que alli se dice, lo he intentado ya un par de veces y consigo que no es asi, principalmente por que encuentro que:

$\dst \frac{\vec r}{r}\cdot \frac{d \vec r}{dr} = 0$

asi que esta seria mi duda en realidad, es esto cierto?

[Al2000]

Re: Uno de analisis vectorial

Perdona, pero ¿por qué $\dst \frac{\vec r}{r}\cdot \frac{d \vec r}{dr} = 0$? Tal como yo lo calculo esa operación daría 1.

Respecto a la demostración, ¿te servirá esto?

$$\boldsymbol \nabla \boldsymbol \cdot \boldsymbol F = \frac {d F_r}{dr} = \frac d {dr} \left[\boldsymbol F \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r\right] = \left[\frac {d \boldsymbol F}{dr} \boldsymbol \cdot \boldsymbol u_r + \boldsymbol F \boldsymbol \cdot \underbrace {\frac {d \boldsymbol u_r}{dr}}_0 \right] = \frac {\boldsymbol r} r \boldsymbol \cdot \frac {d \boldsymbol F}{dr}$$

Saludos,

Al

[gambito]

Re: Uno de analisis vectorial

no es cierto, la derivada de r respecto a r , es la unidad. No es el vector nulo.

[juantv]

Re: Uno de analisis vectorial

Cierto, $\dst \frac{\vec r}{r}\cdot \frac{d \vec r}{dr} = 1$ .

respecto a lo otro:

a ver si te entiendo Al.

$\dst \vec F(\vec r) = F_{x} \hat{\imath} + F_{y} \hat{\jmath} + F_{z}\hat{k}$

si esto es asi, a que te refieres con $\dst F_r$?

inspeccionando un poco , podira atreverme a decir que

$\dst F_r = F_x + F_y + F_z$

asi :

$\dst \frac{d F_r}{dr} = \frac{\partial F_x}{\partial x}\frac{dx}{dr} + \frac{\partial F_y}{\partial y}\frac{dy}{dr} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\frac{dz}{dr}$

y dado que :

$\dst \frac{dx}{dr} = \frac{dx}{dx\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2 + (\frac{dz}{dx})^2}} = 1$

lo mismo pasa con las otras dos, entonces, efectivamente:

$\dst \nabla \cdot \vec F(\vec r) = \frac{d F_r}{dr}$

ahora vamos con esto $\dst F_r = \vec F(\vec r) \cdot \vec u_r$

asi que

$\dst \vec u_r = \frac{dx}{dr} \hat{\imath} + \frac{dy}{dr}\hat{\jmath} + \frac{dz}{dr}\hat{k}$

si todo lo que he dicho es cierto, entonces ya entiendo lo que me dices. si no es asi entonces me arme un lio .

[Al2000]

Re: Uno de analisis vectorial

Tienes varios errores pero ahora no te voy a responder porque tengo que mirarlo con calmita, ya que creo que partí de una premisa falsa, que $\dst \boldsymbol \nabla \boldsymbol \cdot \boldsymbol F = \frac {d F_r}{dr}$. Déjame releer la definición de la divergencia de un vector y si aún no has conseguido la solución volvemos a hablar.

Saludos,

Al

[juantv]

Re: Uno de analisis vectorial

no es falsa, si se tiene en cuenta lo que debe ser $\dst F_r$, me atrevo a decir que cuadra .

[juantv]

Re: Uno de analisis vectorial

ya no estoy tan seguro

[juantv]

Re: Uno de analisis vectorial

ya lo logre AL, gracias igual

[GNzcuber]

Re: Uno de analisis vectorial

ya lo logre AL, gracias igual

¿Podrías poner tu solución para aquellos que no saben cómo se hace y están interesados?

¡Gracias y saludos!