Secundaria Demostración de la derivada de sen(x)

[skinner]

Buenas a todos, este es mi segundo post además del primero (en el cual me presenté), y quiero plantear una duda. Para demostrar la derivada de sen(x) usando el concepto de límite, tengo que:

$\frac{d}{dx} \sin \left(x\right)= \lim_{ \Delta x\to0} \frac{ \sin \left(x+ \Delta x\right)- \sin \left(x\right)}{ \Delta x} = \lim_{ \Delta x\to0} \frac{2 \cos \left( \frac{2x+ \Delta x}{2} \right) \sin \left( \frac{ \Delta x}{2} \right)}{ \Delta x}$

Lo hice por resta de senos (sen A - sen B; A=x+deltax; B=x). Sé que sería más sencillo si lo hago desarrollando el seno de la suma de ángulos x y deltax en sen(x+deltax), pero prefiero complicarme la vida. ¿Es viable mi método? De ser así, ¿cómo tengo que proceder? ¿Alguna pista?

¡Muchas gracias y un saludo!

[Cris]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

Hola!

Mira el blog, La Dual Zona C, y ahi estan demostradas las derivadas de las funciones trigonometricas.

Si quieres discutir algun paso, solo comentalo...

Saludos

[carmelo]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

Hola:
Claro que es viable.

$f(x)=\sin x$
$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} {\dst\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}}$

En este caso se tiene
$\alpha=x+\Delta x$
$\beta=x$ donde
$\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\left(\dst\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dst\frac{\alpha+\beta}{2}\right)$
entonces
$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} {\dst\frac{2\sin\left(\dst\frac{\Delta x}{2}\right)\cos\left(\dst\frac{2x+\Delta x}{2}\right)}{\Delta x}}=\lim_{\Delta x \to 0}{\dst\frac{\sin\left(\dst\frac{\Delta x}{2}\right)}{\dst\frac{\Delta x}{2}} \cos\left(x+\dst\frac{\Delta x}{2}\right)}$ $=\cos x$

Recordá que
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos
Carmelo

[Cris]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

Hey Carmelo!

Un consejo, si me lo permites. En $\LaTeX$ para que el limite se vea mejor, puede usar el comando \displaystyle o \dst

Saludos

[carmelo]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

Ok. Gracias

Saludos
Carmelo

[skinner]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

Hola:

Recordá que
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos
Carmelo

Hola Carmelo, soy capaz de hacer este límite con L'Hôpital, pero se supone que no puedo usar L'Hôpital porque se supone que todavía no sé derivar, por eso usamos el concepto de límite para demostrar la derivada de sen(x). Por tanto... ¿hay alguna forma lógica de deducir ese límite? Queda una indeterminación 0/0, pero no sé cómo seguir.

Gracias, y un saludo!

[carmelo]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

Hola:
Te voy a dar una forma de demostrar este límite de un modo bastante mas artesanal.

Considera el esquema que te adjunto:
Del mismo podes ver por comparación de areas de los sectores circulares y de los triángulos que se forman las siguientes desigualdades. Ten en cuenta que el sector circular mayor tiene radio 1 y el menor radio $\cos x$
Comparando el area del sector OQP', el triángulo OQP y el sector OQ'P.
$0\leqslant \dst\frac12 x\cos^2 x\leqslant \dst\frac12\sin x \cos x\leqslant \dst\frac12 x$
Dividiendo entre $\dst\frac12x\cos x>0$
se obtiene:
$\cos x\leqslant \dst\frac{\sin x}{x}\leqslant \dst\frac{1}{\cos x}$

Tomando el límite se tiene
$\dst\lim_{x \to 0} \cos x\leqslant \dst\lim_{x \to 0}\dst\frac{\sin x}{x}\leqslant \dst\lim_{x \to 0}\dst\frac{1}{\cos x}$
$1\leqslant \dst\lim_{x \to 0}\dst\frac{\sin x}{x}\leqslant 1$ de donde
$\dst\lim_{x \to 0}{\dst\frac{\sin x}{x}}=1$

Saludos
Carmelo

[Metaleer]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

skinner, tienes que crear un hilo por cada duda que tengas, y no ponerlo todo en un solo hilo. Así los hilos son más fáciles de consultar. Tenlo presente para futuras consultas que quieras hacer en este foro.

[skinner]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

skinner, tienes que crear un hilo por cada duda que tengas, y no ponerlo todo en un solo hilo. Así los hilos son más fáciles de consultar. Tenlo presente para futuras consultas que quieras hacer en este foro.

Es mala idea crear un hilo por cada demostración trigonométrica. ¿Te imaginas llenar el subforo con 100 preguntas relacionadas solo con demostraciones trigonométricas? El objetivo del foro es recibir y entregar ayuda dentro de lo posible, y por eso creo que lo más inteligente es cambiarle el título al tema, por "Demostraciones trigonométricas" así también (como dices) será accesible fácilmente. Pero es Absurdo lo que dices de "1 demostración, 1 hilo". Pero gracias por el consejo.

Y gracias a todos por ayudarme, realmente me ha sido muy útil... ahora sé que necesito repasar mucho antes de entrar a la uni.

Un saludo!

[Metaleer]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

No es un consejo. Es la normativa vigente del foro (punto 9.5).

[skinner]

Re: Demostración de la derivada de sen(x)

De acuerdo muchas gracias, un saludo.