1r ciclo Problema campo rectangular

[Julián]

A ver si me pueden ayudar con este problema que se me dificulta tan solo con el planteamiento

En un campo rectangular de ancho a y ancho b se desea realizar un camino perimetral de 3.5m de ancho en el lado sur y norte y de 4.2m de ancho en el este y oeste. Determinar las dimensiones para que el área utilizable para sembrar sea máxima si son 130 ha

[DFP]

Re: Problema campo rectangular

Hola julian403,

He estado pensando en el ejercicio y, conceptualmente, para encontrar el área máxima utilizable, el lado este-oeste (que requiere un tramo mayor de camino que el norte-sur)

debe ser lo más corto posible, es decir, que tienda a 4,2m. Pero obviamente no es una solución plausible. Además he intentado optimizando, pero pierdo la variable de la

función y me es imposible seguir en cierto punto.

Tal vez hubiera alguna condición en la relación base/altura del rectángulo. Si no es así, se me escapa algo. Tal vez alguien del foro lo saque, sino, deberías comprobar

el enunciado.

¡Saludos!

[carroza]

Re: Problema campo rectangular

Hola.

El area sembrada será $S=(a-2 \cdot 3.5)( b - 2 \cdot 4.2)$.

No queda claro a qué se refiere los 130 ha. ¿Es el area del camino perimetral?

Saludos

[DFP]

Re: Problema campo rectangular

No está conectado, así que respondo yo :P.

Por lo que yo entiendo, las 130 ha deben referirse al area total (area sembrada + area camino).

A ver si nos ayudas, porque optimizando se me va b (o a, según cómo calcules), y no sé si es problema mio por falta de práctica o qué.

[Al2000]

Re: Problema campo rectangular

Así lo interpreto yo, que las 160 ha son el valor de $a \cdot b$. Poniendo que el área sembrada es $(a-2 w_{eo})(b-2 w_{ns})$ y la condición de que $a b = A$, los valores de $a$ y $b$ resultan $\dst a = \sqrt {\frac {w_{eo}}{w_{ns}} A}\,,\,\, b = \sqrt {\frac {w_{ns}}{w_{eo}} A}$, obtenidos derivando e igualando a cero la derivada.

Saludos,

Al

[raamona]

Re: Problema campo rectangular

Bien pues dado que me habia equivocado en mis calculos pongo mi resultado aunque parezca extraño a=7.14m y la b= 182071.58m

[DFP]

Re: Problema campo rectangular

Tanto si las 130 ha se refieren al area total o al area de cosecha, creo que el lado este-oeste debe tender a 8,4 (que es la longitud mínima que establecen los caminos). De

esa manera se logra minimizar el area que ocupa el camino, ya que reducimos los lados por los que es más ancho. Por lo tanto, uno de los costados, el que reduce la longitud

del tramo de camino con 4,2 m de ancho (llamemosle a), debe tender precisamente a la anchura de los dos caminos (es decir, 8,4 m). Sé que esto comporta un problema

respecto a b, pero es la única solución que concibo.

¡Saludos!

[Julián]

Re: Problema campo rectangular

La verdad que yo tampoco se lo que significa ah, mañana viernes tengo con el profesor y le pregunto. Pero supongo que es el area total

Concuerdo que la ecuacion del area es y despejando,

Pero ¿por que hay q derivar e igualar la derivada en cero? No comprendo esto de la optimizacion

[Metaleer]

Re: Problema campo rectangular

La verdad que yo tampoco se lo que significa ah, mañana viernes tengo con el profesor y le pregunto. Pero supongo que es el area total

Concuerdo que la ecuacion del area es y despejando,

Pero ¿por que hay q derivar e igualar la derivada en cero? No comprendo esto de la optimizacion

Porque ahí es donde puedes tener máximos/mínimos relativos/locales. La derivada indica la pendiente de la recta tangente en cada punto de la función; piénsalo, si esta pendiente es nula (derivada nula), estamos hablando de una recta horizontal, es decir, en ese punto, de forma local, la función es plana y horizontal. Antes de esta situación, una posible situación es que la función "iba hacia arriba" (era creciente), y después, "va hacia abajo" (es decreciente), y por tanto ese punto donde la derivada se anula es un máximo local o relativo. También puede ocurrir al revés, en cuyo caso tenemos un mínimo local o relativo.

Pero hay que tener cuidado, por dos motivos:

1. A veces, una función no tiene porqué ser diferenciable en un extremo relativo o local, por lo que el criterio de la primera derivada nula no se puede usar. Ejemplo: $f(x) = |x|$.
2. Hay funciones cuya primera derivada se anula, pero no presentan extremos relativos en ese punto. Ejemplo: La derivada de $f(x) = x^3$ se anula en $x = 0$, pero $x = 0$ no es un extremo relativo, sino un punto de inflexión.

Afortunadamente, estas trampas uno no las suele encontrar cuando resuelve problemas de optimización.

Saludos.

[Julián]

Re: Problema campo rectangular

ah es hectárea

[Julián]

Re: Problema campo rectangular

De las siguientes funciones cual es la que tengo que derivar y con respecto a que variable?

?
o
?

saludos

[carroza]

Re: Problema campo rectangular

Hola. Si el area total son 130 ha= 130 . 10^4 m^2, entonces

$a b = A = 130 \cdot 10^4 m^2$; despejas una variable $a = A/b$, la sutituyes en la expresión de S, e igualas a cero la derivada de S con respecto a b.

[Julián]

Re: Problema campo rectangular

Me puedes poner la sustitucion? te lo agradeceria

[carroza]

Re: Problema campo rectangular

Bueno, pasito a pasito:
$S = (a- 2\cdot 3.5)(b - 2 \cdot 4.2)$

Ahora sustituyes
$a = A / b$


y resulta
$S = (A/b- 2\cdot 3.5)(b - 2 \cdot 4.2)$

Derivas "S" con respecto a "b" (A es constante), e igualas la derivada a cero.

$0 = (-A/b^2)(b - 2 \cdot 4.2)+(A/b- 2\cdot 3.5)$

y de ahi obtienes b.