Otras carreras Hallar raices de polinomio.

[Salvadiaz]

Buenas, tengo el siguiente polinomio y quiero hallar sus raices para resolver un problema:

$-{\lambda }^{3 }+7{\lambda }^{2 }-13\lambda +5$

He usado el metodo de Newton pero solo me da una de sus 3 raices. He comprobado que todas son reales y positivas mediante un par de teoremas.
Tras aplicar Newton, una de las raices es:

${\lambda }_{ 1}$ = $2'311$, usando aritmetica de 3 digitos.

Mi duda es: ¿ Como hago para conseguir las otras dos?( sin un pograma de matematicas). Hay algunos metodos que no sirven, pues no encuentro divisores enteros de los coeficientes aparte de ellos mismos.
Gracias de antemano.

Un saludo,

Salva

[GNzcuber]

Re: Hallar raices de polinomio.

Hola Salvadiaz,

No sé si es lo que buscas, pero puedes usar las fórmulas de Cardano.

¡Saludos!

[Salvadiaz]

Re: Hallar raices de polinomio.

Lo he intentado por Cardano pero no se usar bien sus formulas, creo:
${\lambda }_{1 }{\lambda }_{2 } {\lambda }_{ 3}$ = ${(-1)}^{3 } \frac{{a}_{0 } }{{a}_{3 } }$

esto queda

$2'311{\lambda }_{2 } {\lambda }_{ 3}$ = $-5$

${\lambda }_{2 } {\lambda }_{ 3}$ = $-2'164$

Otra relacion que sale es:

${\lambda }_{ 1} + {\lambda }_{2 } + {\lambda }_{3 }$ = $\frac{-{a}_{2 } }{{a}_{3 } }$

es decir

${\lambda }_{2 } + {\lambda }_{3 }$= $4'689$

Tengo 2 ecuaciones con 2 incognitas, pero el problema tiene 3 raices. Si pongo una de las ecuaciones en funcion de una sola raiz, por ejemplo ${\lambda }_{3 }$, me quedara una ecuacion donde, al despejar dicha incognita, me quedarian 2 soluciones, y una de ellas, ademas, negativa. No se como hallarlas correctamente, tiene que ser sencillo pero no le cojo el truco.

EDITO: perdon por subir el tema en el apartado de ecuaciones diferenciales, estaba en ese hilo y ni me he dado cuenta.

Gracias de nuevo,

Un saludo,

Salva

[Salvadiaz]

Re: Hallar raices de polinomio.

Creo que se puede hacer por Newton. Si gasto un poco de tiempo en hallar los cambios de signo de la funcion, hallare los intervalos en los que se encuentran las raices, si aplico Newton en cada intervalo deberia llegar a las soluciones. Voy a hacerlo.

Edito:

en el intervalo [0,1] cambia tambien de signo, aplicando Newton obtengo, a la 4ª iteracion, el valor 0'5188.

Al aplicar Cardano: la raiz restante es 4'1703.

No se por que pero no habia pensado en usar Newton 2 veces.

Un saludo y gracias!

[Al2000]

Re: Hallar raices de polinomio.

También podías haber dividido el polinomio original entre $\lambda$ - 2.311 y resolver el polinomio de segundo orden resultante.

Saludos,

Al

[Salvadiaz]

Re: Hallar raices de polinomio.

Gracias Al, no lo habia pensado. ¿Tiene eso algo que ver con la "division sintetica"? Es que no se exactamente como va y siempre viene muy mal explicado.

Un saludo,

Salva

[Al2000]

Re: Hallar raices de polinomio.

Pues si, pero independientemente del nombre que se le de, lo que importa es que si ya conoces una raíz de un polinomio, puedes hacer una división común y corriente del polinomio original entre el factor ya conocido para eliminar esa raíz y seguir buscando las restantes raíces en el polinomio cociente, que será un grado menor.

En tu caso, si tomas el polinomio original y lo divides entre el factor que ya conoces, obtienes: $(- \lambda^3 + 7 \lambda ^2 - 13 \lambda + 5)/(\lambda - 2.311) = -\lambda^2 + 4.689 \lambda -2.1637$ del cual puedes obtener las otras dos raíces con la conocida fórmula de la ecuación de segundo grado.

Saludos,

Al

[Salvadiaz]

Re: Hallar raices de polinomio.

Muchas gracias Al, muy ´util.

Un saludo,

Salva

[skinner]

Re: Hallar raices de polinomio.

Pues si, pero independientemente del nombre que se le de, lo que importa es que si ya conoces una raíz de un polinomio, puedes hacer una división común y corriente del polinomio original entre el factor ya conocido para eliminar esa raíz y seguir buscando las restantes raíces en el polinomio cociente, que será un grado menor.

En tu caso, si tomas el polinomio original y lo divides entre el factor que ya conoces, obtienes: del cual puedes obtener las otras dos raíces con la conocida fórmula de la ecuación de segundo grado.

Saludos,

Al

Hola Al, ¿te importaría explicarme de dónde sale esta propiedad? Lo único que puedo deducir a mi nivel es que si divides el polinomio original entre la diferencia de LAMBDA y una de las raíces del polinomio, al sustituir la raíz en numerador y denominador tienes 0/0 ¿Tiene algo que ver?

Te agradecería que me explicaras de dónde esa deducción.

¡Un saludo!

[Al2000]

Re: Hallar raices de polinomio.

No hay ningún misterio, simplemente que si es un polinomio de grado 3 entonces vendrá dado por el producto de los tres factores $(\lambda -r_1)(\lambda-r_2)(\lambda-r_3)$, siendo $r_i$ las raíces del polinomio, reales o complejas. Como ya conoces una raíz, puedes dividir para eliminar ese factor y quedarte con un polinomio mas pequeño.

Saludos,

Al