Secundaria Resolver inecuaciones con valor absoluto

[skinner]

¡Buenas! Me gustaría saber en qué propiedades se apoyan ustedes a la hora de resolver inecuaciones con valor absoluto, digamos por ejemplo:

$$1\leqslant |x+1| + |x-1| \leqslant 4$$

Lo que yo pensé fue: dibujar un plano cartesiano, dibujar las dos rectas y=1, y=4, y de alguna forma representar |x+1| + |x-1| y coger los valores que queden comprendidos entre estas líneas, y también los valores que corten a las líneas... pero el problema surge ahí, ¿cómo sigo?

¿Qué forma usáis vosotros para resolver inecuaciones de valor absoluto?

¡Un saludo, gracias!

[Al2000]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

Ya que no estás pidiendo ¿cómo se hace? sino ¿cómo lo haces tú? me atrevo a responderte y a lo mejor alguien escribe una forma mejor y yo aprendo algo de pasada.

Yo lo que hago es analizar la inecuación con valores absolutos como varias inecuaciones simultáneas sin valores absolutos, cambiando cada valor absoluto por su negativo cuando sea pertinente. Usando como ejemplo la inecuación que pusiste, puedes eliminar el primer valr absoluto poniendo

$$1\leqslant |x+1| + |x-1| \leqslant 4 \to <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> 1\leqslant (-x-1) +& |x-1| \leqslant 4\,, & & x \leqslant -1 \\<br /> 1\leqslant (x+1) +& |x-1| \leqslant 4\,, & & x \geqslant -1 <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Haces lo mismo con el otro valor absoluto

$$1\leqslant |x+1| + |x-1| \leqslant 4 \to <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> 1\leqslant (-x-1) +& (-x+1) \leqslant 4\,, & & x \leqslant -1\,, x \leqslant 1 \\<br /> 1\leqslant (-x-1) +& (x-1) \leqslant 4\,, & & x \leqslant -1\,, x \geqslant 1 \\<br /> 1\leqslant (x+1) +& (-x+1) \leqslant 4\,, & & x \geqslant -1\,, x \leqslant 1 \\<br /> 1\leqslant (x+1) +& (x-1) \leqslant 4\,, & & x \geqslant -1\,, x \geqslant 1 <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Simplificas y eliminas los casos imposibles

$$1\leqslant |x+1| + |x-1| \leqslant 4 \to <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> 1\leqslant -2&x \leqslant 4\,, & & x \leqslant -1\,, x \leqslant 1 \\<br /> 1\leqslant -2& \leqslant 4\,, & & x \leqslant -1\,, x \geqslant 1 \\<br /> 1\leqslant 2& \leqslant 4\,, & & x \geqslant -1\,, x \leqslant 1 \\<br /> 1\leqslant 2&x \leqslant 4\,, & & x \geqslant -1\,, x \geqslant 1 <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

$$1\leqslant |x+1| + |x-1| \leqslant 4 \to <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> 1\leqslant -2x& \leqslant 4\,, & & x \leqslant -1 \\<br /> 1\leqslant 2x& \leqslant 4\,, & & x \geqslant 1 <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

$$1\leqslant |x+1| + |x-1| \leqslant 4 \to <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> -1/2 \geqslant x& \geqslant -2\,, & & x \leqslant -1 \\<br /> 1/2\leqslant x& \leqslant 2\,, & & x \geqslant 1 <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

$$1\leqslant |x+1| + |x-1| \leqslant 4 \to <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> -2 \leqslant x& \leqslant -1 \\<br /> 1\leqslant x& \leqslant 2 <br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Cuando el caso es mas complicado (mas valores absolutos) lo que hago es una tabla con columnas definidas para cada una de las tres regiones de cada valor absoluto. A lo mejor he trabajado demás, pero bueno, eso es lo que hago.

Saludos,

Al

PD. No había terminado de pulsar el botón de publicar el mensaje, cuando ví que metí la pata al eliminar la tercera inecuación, $1 \leqslant 2 \leqslant 4$, la cual es evidentemente cierta. Como hay que añadir el rango $-1 \leqslant x \leqslant 1$, entonces la respuesta final es que $-2 \leqslant x \leqslant 2$.

[skinner]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

Interesante, esa forma la "descubrí" unos minutos antes de mirar al post. ¿Alguien aporta otros métodos? ¿Algun método gráfico, como dije en mi primer post?

¡Un saludo! Y gracias, Al2000

[GNzcuber]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

Hola,

Bueno, no acostumbro resolver ecuaciones, y menos inecuaciones, con valor absoluto, pero se me ha ocurrido la siguiente manera:

Sabemos que

$$\dst \left| x+1+x-1\right|=2\left|x\right|\leq \left|x+1\right|+\left|x-1\right|$$

Si pensamos en la cota superior tendremos, por significado, un entorno de radio x centrado en 0, que no supera las cuatro unidades:

$$\dst 2|x|\leq 4\Rightarrow -4\leq 2x\leq 4\Rightarrow -2\leq x\leq 2$$

Ésto es el intervalo $\dst [-2,2]$.

Sin embargo, antes de pensar en la tercera inecuación, la que he simplificado al dividir por dos, debería imponer la condición de la cota inferior. Que su significado es todos los puntos de la recta que disten a una distancia mayor o igual que 1. Ésto son dos intervalos disjuntos: $\dst (-\infty,-1]\cup [1,\infty)$, pero simplificando queda $\dst \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},\infty\right)$.

Escrito en forma de inecuación es:

$$\dst 2|x|\geq 1\Rightarrow \left\{\begin{aligned}x\leq -\frac{1}{2}\\ x\geq \frac{1}{2}\end{aligned}\right.$$

Ahora, haremos la intersección de los conjuntos:

$\dst \left(\, \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},\infty\right)\right)\cap [-2,2]=\left[-2,-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},2\right]$

¡Saludos!

P.D.: Yo creo que la última operación con conjuntos es simple, pero sinó recuerda:

$$\dst (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$$

P.D.2: Por cierto, en (1) uso la desigualdad de Minkoswki, o más conocida como desigualdad triangular:

$$\dst |a+b|\leq |a|+|b|$$

[Al2000]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

...
Sabemos que

$$\dst \left| x+1+x-1\right|=2\left|x\right|\leq \left|x+1\right|+\left|x-1\right|$$

...

...
Ahora, haremos la intersección de los conjuntos:

$\dst \left(\, \left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},\infty\right)\right)\cap [-2,2]=\left[-2,-\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},2\right]$
...

Sólo un por si acaso... Si se supone que estás resolviendo el problema original, por favor nota que si bien es cierto que $|x+1+x-1| = 2 |x|$, no es cierto que $2 |x| = |x+1|+|x-1|$, de modo que al resolver $1 \leqslant 2 |x| \leqslant 4$ resolviste un problema diferente.

Aquí la solución gráfica de los dos casos, como quería skinner:



La línea gruesa destaca la solución.

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

Hola Al,

Gracias por la corrección, me he dado cuenta esta mañana pensando en ella. Lo que sí es correcto es $\dst 2|x|\leq 4$ por la desigualdad de Minkowski, la otra desigualdad se me escapó :P, y continué con ella felizmente.

Debo hallar una desigualdad que sea mayor que la anterior, así:

$$\dst 1\leq |x+1|+|x-1|\leq |x|+|1|+|x|+|-1|=2|x|+2=2(|x|+1)$$

$$\dst \frac{1}{2}\leq |x|+1\Rightarrow |x|\geq -\frac{1}{2}\Rightarrow x=\{a|a\in\mathbb{R}\}$$

La intersección de los conjuntos es:

$$\dst [-2,2]\cap(-\infty,\infty)=[-2,2]$$

Ahora parece estar bien, y coincide con tu resultado. Y eso es bueno .

¡Saludos!

[skinner]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

Muchísimas gracias a ambos, las gráficas han sido de mucha utilidad. Aunque el método de GNZcuber ha sido más ingenioso, también pienso que el ingenio no tiene cabida en un examen jeje Eso sirve para demostrar que, aunque no sepas (o hayas olvidado) hacer algo, siempre puedes usar la imaginación, la creatividad, el ingenio y el raciocinio, y dejarte llevar

Pues eso, muchas gracias, ¡un saludo!

[skinner]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

Ahora estoy con el ejemplo: |x| + |y| $\leqslant$ 1

Y tengo las cuatro posibilidades, desarrollando como lo hizo Al2000:

(1) x + y $\leqslant 1 \Leftrightarrow x>0 \wedge y>0$
(2) x - y $\leqslant 1 \Leftrightarrow x>0 \wedge y<0$
(3) -x + y $\leqslant 1 \Leftrightarrow x<0 \wedge y>0$
(4) -x - y $\leqslant 1 \Leftrightarrow x<0 \wedge y<0$

Al2000, ¿ahora como puedo seguir? ¿Cómo debo interpretar el problema? Algo como: "busque dos números, x e y, tal que la suma de sus valores absolutos sea menor o igual que uno" ? ¿y cómo expreso el resultado, como un conjunto de puntos en |R^2 ? ¿Y cómo pongo las condiciones?

¿Cómo continúo con el ejercicio?

Muchas gracias

Un saludo!

[GNzcuber]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

Hola skinner,

Efectivamente, los valores se interpretan mediante un semiplano. Piensa que en vez de haber sido una desigualdad hubiera sido una igualdad, el resultado sería los puntos de la recta que cumpla dichas condiciones, ahora ésta solución está incluida, pero por supuesto que estarán incluidos infinitos puntos que cumplan la condición.

$$\dst 1\geq |x|+|y|\geq |x+y|\Rightarrow -1\leq x+y\leq 1$$

Y aquí está el problema que tienes ¿Cómo expresar el resultado, primero debemos apreciar que que el conjunto solución se encuentra entre dos rectas:

$$\dst \left\{\begin{aligned}r_1:\quad y=-x-1\\ r_2:\quad y=-x+1\end{aligned}\right.$$

Luego, recordando que son desigualdades escribiré lo que se podría haber escrito directamente y que está implícito en el primer resultado:

$$\dst \left\{\begin{aligned}s_1:\quad y\geq -x-1\\ s_2:\quad y\leq -x+1\end{aligned}\right.$$

Ahora no sabría cómo expresarlo pero el conjunto solución es $\dst S=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|y\geq -x+1\wedge y\leq -x-1,x\in\mathbb{R}\}$. Digo "no sé expresarla" porque tenía ganas de expresarla de una forma más elegante, pero es lo que hay :P.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

...

$$\dst 1\geq |x|+|y|\geq |x+y|\Rightarrow -1\leq x+y\leq 1$$

...

Parece que te la tengo dedicada, mi amigo, pero no es así. Es simplemente una consecuencia lógica de que eres valiente y vas a la vanguardia, mientras que los cobardones vamos detrás de ti viendo desde la segura retaguardia en qué hueco del camino has caído.

Fíjate que es cierto que $|x+y| \leqslant |x| + |y|$, y que también es cierto que $|x|+|y| \leqslant 1 \quad \Rightarrow \quad |x+y| \leqslant 1$, pero lo que no es cierto es que si $|x+y| \leqslant 1$, entonces $|x|+|y| \leqslant 1$ Para muestra, basta un botón, dice el saber popular: prueba con $x = 2\,,\,\,y=-2$.

Fíjate que la desigualdad original es mucho mas restrictiva que la que resolviste. La desigualdad original impide que $|x|$ o $|y|$ sean mayores que 1, y todas las posibles soluciones se encontrarán dentro de un cuadrado de lado 2 centrado en el origen del plano XY y deberán cumplir con las cuatro restricciones que halló skinner. Por ejemplo, en el primer cuadrante los pares (x,y) deberán estar por debajo de la recta x+y = 1, incluyendo la recta.

Bueno, esto lo estoy escribiendo sobre la marcha y ahora no puedo ponerme a ver la cosa en detalle, mucho menos a graficarla, pero diré como Terminator, I'll be back...

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Resolver inecuaciones con valor absoluto

Ahora estoy con el ejemplo: |x| + |y| $\leqslant$ 1

Y tengo las cuatro posibilidades, desarrollando como lo hizo Al2000:

(1) x + y $\leqslant 1 \Leftrightarrow x>0 \wedge y>0$
(2) x - y $\leqslant 1 \Leftrightarrow x>0 \wedge y<0$
(3) -x + y $\leqslant 1 \Leftrightarrow x<0 \wedge y>0$
(4) -x - y $\leqslant 1 \Leftrightarrow x<0 \wedge y<0$

Al2000, ¿ahora como puedo seguir? ¿Cómo debo interpretar el problema? Algo como: "busque dos números, x e y, tal que la suma de sus valores absolutos sea menor o igual que uno" ? ¿y cómo expreso el resultado, como un conjunto de puntos en |R^2 ? ¿Y cómo pongo las condiciones?

¿Cómo continúo con el ejercicio?
...

Lo que pasa es que no has definido ningún objetivo, nada que solucionar o buscar. ¿Estás simplemente tratando de ver que conjunto de puntos cumple la desigualdad? Una interpretación ya la indiqué en mi último mensaje. Puedes interpretar la solución como cierta área del plano XY, la que cumple con las cuatro restricciones que tienes planteadas.

Tienes una restricción, o desigualdad, como la quieras llamar, para cada cuadrante. En el cuadrante I, los puntos (x,y) deben caer por debajo de la recta x + y = 1. Pues entonces si lo quieres visualizar dibuja la recta, que será la línea trazada entre (0,1) y (1,0), y todos los puntos comprendidos entre esta línea (inclusive) y los ejes coordenados cumplirán la desigualdad.

Si haces lo mismo con cada restricción, por ejemplo la segunda, tendrás que en el cuadrante IV los valores de (x,y) serán todos puntos por encima de la recta x - y = 1 (ya que y >= x - 1).

Si no me equivoco vas a terminar con un rombo de vértices (0,1), (1,0), (0,-1) y (-1,0).

Saludos,

Al