Primaria Simbolos de Christoffel

[Hardy el paradojico]

Hola, alguien podría ayudar tengo en una duda en el cálculo de los símbolos de Christoffel , por ejemplo en uno de los casos más sencillos si los queremos calcular en polares

tenemos que
$x=\rho \cos \phi, <br /> y=\rho \sin \phi$

por tanto el Jacobiano será $J=<br /> \begin{bmatrix}{\cos \phi}&{\sin \phi}\\{-\rho \sin \phi }&{\rho \sin \phi}\end{bmatrix}$ así que la métrica es $G=<br /> \begin{bmatrix}{1}&{0}\\{0 }&{\rho ^2}\end{bmatrix}$

los símbolos de Christoffel de 1 era especie son de la forma

$\displaystyle\Gamma _ij,k= \frac {1}{2}[\frac {\partial g_{ik}}{\partial u^j} +\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^i} -\frac {\partial g_{ij}}{u^k}]$ y aquí es donde viene la duda, no sé cómo hacer estas derivadas para obtener este resultado

$\displaystyle\Gamma _ij,k= \begin{bmatrix}{<br /> \begin{pmatrix}{0}&{0}\\{0 }&{-\rho }\end{pmatrix}}\\{<br /> \begin{pmatrix}{0}&{\rho}\\{\rho }&{0 }\end{pmatrix}}\\ \end{bmatrix}$

un saludo y gracias

[alejandrito29]

Re: Simbolos de Christoffel

lo que yo haría es, haciendo $\phi=r$
$\Gamma_{rr,r}=0$
$\Gamma_{r \phi ,r}=0$
$\Gamma_{\phi r,r}=0$
$\Gamma_{\phi \phi ,r}= \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d g_{\phi \phi}} }{\mathrm{d r} } =r$

haciendo el sub indice $k= \phi$ creo quedarian los christoffel iguales a 0

[Hardy el paradojico]

Re: Simbolos de Christoffel

hola, gracias por tu respuesta , como ha pasado tiempo, tiempo en el que he aprovechado para ilustrarme en estos temas creo que está bien el resultado que puse , ya que $\frac {\partial g_{ij}}{u^k}$ son las derivadas de la métrica respecto de cada coordenada , las demás $\frac {\partial g_{jk}}{u^i}$ y $\frac {\partial g_{ik}}{u^j}$ se obtienen intercambiando las filas y columnas de $\frac {\partial g_{ij}}{u^k}$

un saludo