1r ciclo Pregunta sobre desigualdad

[skinner]

Buenas, tengo una gran duda. ¿Podemos usar la desigualdad triangular para resolver el ejercicio?

$|x|+|y|\leqslant 1$

Yo he pensado lo siguiente: como $|x+y|\leqslant |x|+|y|$, y como $|x|+|y|\leqslant 1$ entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

¿Alguien me puede indicar cómo seguir?

Por cierto, tras intentarlo mucho, tampoco sé cómo meter mano a la desigualdad:

$\frac{1}{2}\leqslant |{x}^{2}+1|-|{x}^{2}-1|\leqslant 3$

Mi profe quiere que lo hagamos usando las identidades fundamentales de los reales (es decir, usando las propiedades de los números absolutos con desigualdades) por tanto un método como por ejemplo el que nos ilustró Al2000, no me serviría en este caso.

Un saludo y mil gracias!

[Albertotti]

Re: Pregunta sobre desigualdad

Te puedo decir que la solución es el área interior de un cuadrado con los vértices en (1,0), (0,1), (-1,0) y (0,-1).
Si lo que quieres es resolver el ejercicio no puedes usar la desigualdad triangular, ya que vas a coger un area interior a este cuadrado.
Yo haría lo siguente:
$<br /> \left\vert{} x \right\vert{} +\left\vert{} y \right\vert{} \leqslant 1 \to {\left( \left\vert{} x \right\vert{} + \left\vert{} y \right\vert{} \right)}^{ 2} \leqslant 1 <br />$

$<br /> {\left\vert{} x \right\vert{} }^{2 } +{\left\vert{} y \right\vert{} }^{ 2} + 2\left\vert{} x \right\vert{} \left\vert{} y \right\vert{} \leqslant 1\to {x}^{2 } +{y}^{ 2} +2\left\vert{} x \right\vert{} \left\vert{} y \right\vert{} \leqslant 1<br />$

Y aquí ya si puedes separar:
$<br /> {x}^{2 } +{y}^{ 2} +2 x y \leqslant 1<br />$

$<br /> {x}^{2 } +{y}^{ 2} - 2 x y \leqslant 1<br />$

Hale, remátalo

[skinner]

Re: Pregunta sobre desigualdad

Ahora sí que me he perdido... De qué cuadrado hablamos ahora? ¿Y qué tiene que ver la desigualdad triangular con su área?

Agradecería que me lo aclarases... Un saludo!

[Albertotti]

Re: Pregunta sobre desigualdad

He supuesto que el ejercicio consiste en averiguar la solución de la desigualdad, que con dos variables es un área cuyas fronteras la forman las inecuaciones en sí.
Un ejemplo simple: si dices que x+1>0 entonces la solución es x>-1, o sea todos los valores mayores que -1.
En tu ejercicio el conjunto de soluciones sería el interior y el borde del cuadrado que te defino, es decir, que cualquier pareja de valores que cojas dentro de él (por ejemplo, (x=0,y=0)) será solución válida.
Cuando he hecho el cuadrado lo he hecho a ambos lados de la inecuación, pero 1²=1

Si el ejercicio no se trata de eso dímelo y vemos qué se puede hacer
saludos

[skinner]

Re: Pregunta sobre desigualdad

Hola Albertoti, gracias por tu ayuda. El ejercicio trata de resolver la desigualdad con los valores absolutos que indiqué, nada más que eso. Tengo tres dudas.

1º) ¿Cómo has interpretado geométricamente esa desigualdad con valores absolutos? ¿Por qué un cuadrado, y no un triángulo o un rectángulo?

2º) Dejando la interpretación geométrica de lado, y echándo un vistazo a mi primer post... ¿mi solución fue correcta?

3º) Si tuvieses términos cuadráticos (ejemplo: $|{x}^{2}-1| + |{y}^{2}-5|\leqslant 1$ ), ¿cómo lo interpretamos geométricamente? ¿Y si tuvieramos 3 incógnitas, x y z?

Como ves, me interesa más la geometría del problema aunque antes de haber posteado solo me preocupaba por la solución analítica... sería un alivio si supieras ayudarme

Un saludo y gracias de nuevo.

[Albertotti]

Re: Pregunta sobre desigualdad

1º) Simple representación gráfica: es una manera de resolver tanto ecuaciones como inecuaciones: si, por ejemplo, tienes un sistema de 2 ecuacioens con 2 incognitas la solución consiste en representar en el plano xy ambas ecuaciones y ver los puntos de corte. En este caso lo que tengo son 4 líneas rectas que, casualmente, forman ese cuadrado, pero esto último es una casualidad.

2º) No fue correcta, ya que al aplicar la desigualdad triangular estás desacotando la solución. Gráficamente estás aumentando el cuadrado, con lo que la solución estará abarcada, pero parte de la misma no será correcta. Es como si dices "x<5 y como 5<7, entonces x<7 también es solución". No es verdad ya que x=6 cumple la segunda condición pero no la primera. no se si me explico...

3º) Con términos cuadráticos la cosa se complica, ya que aparecerían parábolas que, con valores absolutos hacen cosas muy raras. Si además tenemos más incognitas la solución gráfica empieza a tornarse más complicada o imposible (mi visión espacial es bastante limitadita...)

La solución de un problema es la que es, pero normalmente se puede llegar por varios caminos. Muchas veces el visualizarla gráficamente te ayuda a llegar de forma analítica

Saludos

[skinner]

Re: Pregunta sobre desigualdad

Muchas gracias, me despejaste casi todas las dudas, excepto la de cómo representar gráficamente |x|+|y|<=1 y también la duda de cómo resolverla analíticamente, pues tú te basaste en un método geométrico para resolver la inecuación analíticamente, pero ¿y si no supiera analizar geométriamente?

1º) ¿Cómo representaste la inecuación completa?
2º) ¿Cómo hago la solución analítica sin apoyarme en una definición geométrica?

Un saludo y mil gracias por tu atención

[Albertotti]

Re: Pregunta sobre desigualdad

1º) ¿Cómo representaste la inecuación completa?

Vaya por delante que la solución geométrica me ha servido para comprobar la analítica.
En realidad con la experiencia vas visualizando mejor estas cosas, pero siempre puedes poner valores al azar y ver qué forma hacen. En este caso particular primero lo trato como si fuera ecuación para encontrar el borde.

2º) ¿Cómo hago la solución analítica sin apoyarme en una definición geométrica?

Lo que yo he puesto en el primer post es una solución analítica: hago el cuadrado a ambos lados, para así tener solamente dos inecuaciones.
Pero siempre puedes plantear las cuatro opciones que son (menor es menor o igual, que no tengo ganas de usar LATEX):
1) x > 0; y > 0 --> aquí x + y < 1, luego y < 1 - x. La solución es la parte inferior de esta recta, incluida la recta
2) x > 0; y < 0 --> aquí x - y < 1, luego y > x - 1. La solución es la parte superior de esta recta, incluida la recta
3) x < 0; y > 0 --> aquí - x + y < 1, luego y < 1 + x. La solución es la parte inferior de esta recta, incluida la recta
4) x < 0; y < 0 --> aquí - x - y < 1, luego y > -1 - x. La solución es la parte superior de esta recta, incluida la recta
Si las juntas todas es el famoso cuadrado inclinado. Pero analíticamente desde aquí pondrías:
x - 1 < y < 1 - x
-1 - x < y < 1 + x
No se cómo más puedo ayudarte...
Saludos