Divulgación Despeje

[natanael]

Sé que parece ridículo, pero como despejo la variable "y" de esta ecuación $\dst x=cos^{-1}[cos(y)]$

[angel relativamente]

Re: Despeje

si:

$$\dst x=cos^{-1}[cos(y)] \rightarrow cos(x) = cos (y) \rightarrow x=y$$

En realidad es que hacerle el arcoseno a un coseno es hacer la operación inversa, es como elevar al cuadrado una raíz cuadrada....

Saludos!

[natanael]

Re: Despeje

Hola angel, mira en realidad eso creía yó, hasta que hice un programa donde tenía que calcular el angulo del coseno de una funcion, en fin, el resultado estaba malo, no entendía porqué, fíjate.. si $\dst x=cos^{-1}[cos(y)]\to x=y$ , entonces quiere decir esto que un conjunto solucion es x=4, y=4. pero no, porque x=4 no pertenece al dominio de la relacion $\dst x=cos^{-1}[cos(y)]$.

Yo le llevé el ejercicio a un profesor de cálculo, y me dijo lo mismo, que $\dst cos^{-1}()$ se cancelaba con $cos()$ , por ser funciones inversas, pero creo que no es así, has el intento y grafica $\dst y=cos^{-1}[cos(x)]$, te tiene que dar algo como esto:



Como ves, el rango de esa funcion vá de $\dst [0,\pi]$, ahora si haces la grafica de $\dst x=cos^{-1}[cos(y)]$ , el dominio de esa relación en un sistema coordenado X-Y, es de $\dst [0,\pi]$ , por eso me preguntaba si habría forma de despejar esa funcion, si es que puede llamarse así.

[angel relativamente]

Re: Despeje

en efecto, he hecho la gráfica y me sale eso. Me sumo a tu duda, siento no poder serte de más ayuda.

Saludos!

[natanael]

Re: Despeje

No vále! agradezco tu ayuda, para eso son los foros nó?, yo siempre despejaba muy tranquilo las ecuaciones, lo que sé hasta ahora que esta irregularidad se presenta sólo es con el coseno, porque con el seno y la tangente no sucede, ahora $\dst x=cos[cos^{-1}(y)]$ sí es lo mismo que y=x, es bastante interesante y por eso quisiera saber el porqué. Habrá que esperar que un matemático nos lo aclare.

Saludos.

[carmelo]

Re: Despeje

Hola:

Hay que tener un poco de cuidado con este tipo de "despejes". Primero hay que tener en cuenta que la funciòn coseno definida sobre todo el dominio de $R$ no es una función inyectiva.Sucede que $\cos x_1=\cos x_2$ no implica necesariamente que $x_1=x_2$. Para superar este percance y a los efectos de poder definir la función inversa para el coseno, se suele tomar como dominio el intervalo $[0,\pi]$. Se podìa tomar cualquier otro tramo, pero por convenciòn, (al menos la que yo tengo presente) se toma este intervalo. Vemos que de esta manera queda perfectamente definida la funciòn inversa para el $\cos x$.

El mismo inconveniente vas a encontrar con la tangente y con el seno, dado que no son funciones inyectivas en todo el eje real, solo cuando restringimos su dominio.

Saludos
Carmelo

[Caifan]

Re: Despeje

Solo para complementar la explicación de carmelo...

Es por esta razón que, por ejemplo, en el intervalo $[0,\pi]$, al observar la gráfica pareciera que si se cumple la relación $x = y$, y en realidad así sucede.

[natanael]

Re: Despeje

Hola carmelo, mira, ya que la inversa está definida, como dijiste, de $\dst [0,\pi]$ , me puse de vago a definir "y" en funcion de "x", y un parametro "n" que pertenece a los enteros (pero para la relación $\dst x=cos^{-1}[cos(y)]$), pilla a ver si me he pelado en algo...

La grafica de $\dst x=cos^{-1}[cos(y)]$ es...



Como se vé y=x es una solucion e el intervalo $\dst [0,\pi]$, tambien $\dst y=\pm x\pm 2\pi$ son soluciones pero en intervalos distintos en el rango de la función.

Entonces yo generalizaría la solucion a estas dos definiciones...

(1) $\dst y=\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }x+2n\pi$ si $\dst 2n\pi -\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)\leqslant y \leqslant \left( 2n+\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)\pi +\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)$ para $\dst n\in \mathbb{Z}$ con $\dst n\neq 0$

(2) $\dst x=\left\vert{} y \right\vert{}$ si $\dst -\pi \leqslant y \leqslant \pi$

donde $\dst \dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }$ , es simplemente el signo, pero como vemos para n=0 daría una indeterminacion, entonces establecí que $\dst n\neq 0$ , por eso la definicion (2).

Ahora si yo defino $\dst y=\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }x+2n\pi$ para $\dst 2n\pi \leqslant y \leqslant \left( 2n+\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)\pi$ sólo puedo definirlo para $\dst n\in \mathbb{Z}^{+}$ con $\dst n\neq 0$ , porque no se cumple para $\dst n\in \mathbb{Z}^{-}$ , entonces no sé hasta donde sería válido hacer esto...

Esta expresión $\dst \left(1-\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)$ vále 0 para $\dst n\in \mathbb{Z}^{+}$, pero vale 2 para $\dst n\in \mathbb{Z}^{-}$ , entonces si yo la multiplico por $\dst \dfrac{\pi}{2}$ , obengo que vale $\dst \pi$ cuando $\dst n\in \mathbb{Z}^{-}$ , y 0 cuando $\dst n\in \mathbb{Z}^{+}$ , entonces puedo utilizarla para alterar los valores entre los que está comprendido el rango la funcion para $\dst \mathbb{R}^{-}$ , por eso la coloco en la expresion final de (1).

Bueno ya basta de tanta inventadera, el problema es que llevo ya como 2 meses con este dilema y no le hayo, porque entonces como haría par definirla en intervalos mayores que $\dst \pi$ , será que todo esto servirá?.

[Metaleer]

Re: Despeje

Hay que tener cuidado con estas cosas.

Si yo tengo $\sqrt{x^2}$, ¿verdad que eso es igual a $x$? La respuesta es que no. ¿Por qué? Vamos en pensar en dos ejemplos: $x_1 = 3$, y $x_2 =- 5$. Si $x_1 = 3$, tenemos que $\sqrt{x^2} = \sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3 = x_1$ y parece que no hay problema. Veamos ahora $x = -2$: $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = - x_2 \neq x_2$

¿Qué ha pasado? Si os dais cuenta, esto va a pasar siempre que $x<0$, y para $x \geq 0$ se va a recuperar el propio valor de $x$. Esto se resume diciendo que

$$\sqrt{x^2} = \text{abs}(x) = |x|$$

Así que, cuidado con las inversas.

Saludos.

[natanael]

Re: Despeje

Hola Metaleer, gracias por la acotacion, aunque no entiendo muy bien, es que pillaste algo malo en la "formula", con resecto al uso del $\dst \left\vert{} n \right\vert{}$?, o es un consejo para que tenga cuidado en futuros cálculos?, bueno!, gracias de todas formas!.

Aunque aprovecho para explicarlo mejor, por ejemplo cuando programo en C++ u programita sobre fuerzas, las cuales represento en plano cartesiano, calculo la fuerza resultante sobre una carga de prueba que se encuentra imersa en una distribucion de cargas, para ello necesito obligatoriamente saber el signo de alguna expresión, (por ejemplo una la fuerzas), con el fin de saber si este resultado vá a ser sumado o restado con sus otras componetes, siempre he usado esa expresion para darle el signo, por ejemplo tengo,

$\dst componentes(x,y)=funcion(x_1,x_2,....x_n)$

siempre esas funciones (no sé porque), me arrojan valores correctos en su valor absoluto, pero el signo siempre carece de sentido, lo que hice fué copiarme de la manera como se obtiene un vector unitario dado un vector $\dst \vec{V}$, donde $\dst \hat V =\dfrac{\vec{V}}{\left\vert{} \vec{V} \right\vert{} }$, y no importando cuan grande sea el modulo del vector, su unitario simpre vá a valer 1, igualmente lo hice para esa funcion, $\dst componentes(x,y)=\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\left\vert{} funcion(x_1,x_2,....x_n) \right\vert{}$, donde n es simplimente el valor de la posicion donde se aplica la fuerza, y si está en el eje -x, entonces no importa cuanto valga el modulo de x, siempre va a valer la unidad, entonces obtendríamos lo que buscaba, que sería el signo, en funcion de, si está en el eje -x=-, y si está en el eje +x=+.

¡Ahora!, no sé hasta que punto sea válido este tipo de trucos al momendo de incluirlos en una ecuacion matemática seria, pero bueno!. en mi caso ha funcionado en todos los programitas de modelado que he hecho hasta el momento.

Si hay una incoherencia en esta función:

$\dst y=\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }x+2n\pi$ si $\dst 2n\pi -\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)\leqslant y \leqslant \left( 2n+\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)\pi +\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)$, con respesto a la grafica de $\dst x=cos^{-1}[cos(y)]$, por favor háganmelo saber!

[polonio]

Re: Despeje

Otra nota más sobre el tema: para que la inversa de una función esté definida de forma unívoca en un determinado intervalo, en dicho intervalo la derivada de la función no puede anularse.

[SO3]

Re: Despeje

Otra nota más sobre el tema: para que la inversa de una función esté definida de forma unívoca en un determinado intervalo, en dicho intervalo la derivada de la función no puede anularse

Esto es falso, el que no se anule la derivada (caso de que exista) es suficiente para la existencia local de inversa (y además que dicha inversa sea diferenciable) pero en absoluto es necesario como pone de manifiesto $f(x)=x^3$ como función real.

[Metaleer]

Re: Despeje

Hola Metaleer, gracias por la acotacion, aunque no entiendo muy bien, es que pillaste algo malo en la "formula", con resecto al uso del $\dst \left\vert{} n \right\vert{}$?, o es un consejo para que tenga cuidado en futuros cálculos?, bueno!, gracias de todas formas!.

Aunque aprovecho para explicarlo mejor, por ejemplo cuando programo en C++ u programita sobre fuerzas, las cuales represento en plano cartesiano, calculo la fuerza resultante sobre una carga de prueba que se encuentra imersa en una distribucion de cargas, para ello necesito obligatoriamente saber el signo de alguna expresión, (por ejemplo una la fuerzas), con el fin de saber si este resultado vá a ser sumado o restado con sus otras componetes, siempre he usado esa expresion para darle el signo, por ejemplo tengo,

$\dst componentes(x,y)=funcion(x_1,x_2,....x_n)$

siempre esas funciones (no sé porque), me arrojan valores correctos en su valor absoluto, pero el signo siempre carece de sentido, lo que hice fué copiarme de la manera como se obtiene un vector unitario dado un vector $\dst \vec{V}$, donde $\dst \hat V =\dfrac{\vec{V}}{\left\vert{} \vec{V} \right\vert{} }$, y no importando cuan grande sea el modulo del vector, su unitario simpre vá a valer 1, igualmente lo hice para esa funcion, $\dst componentes(x,y)=\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\left\vert{} funcion(x_1,x_2,....x_n) \right\vert{}$, donde n es simplimente el valor de la posicion donde se aplica la fuerza, y si está en el eje -x, entonces no importa cuanto valga el modulo de x, siempre va a valer la unidad, entonces obtendríamos lo que buscaba, que sería el signo, en funcion de, si está en el eje -x=-, y si está en el eje +x=+.

¡Ahora!, no sé hasta que punto sea válido este tipo de trucos al momendo de incluirlos en una ecuacion matemática seria, pero bueno!. en mi caso ha funcionado en todos los programitas de modelado que he hecho hasta el momento.

Si hay una incoherencia en esta función:

$\dst y=\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }x+2n\pi$ si $\dst 2n\pi -\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)\leqslant y \leqslant \left( 2n+\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)\pi +\dfrac{\pi}{2}\left(1-\dfrac{n}{\left\vert{} n \right\vert{} }\right)$, con respesto a la grafica de $\dst x=cos^{-1}[cos(y)]$, por favor háganmelo saber!

No, estaba presentando otro ejemplo donde la "inversa de la inversa" no da lo que "debería" dar, igual que el caso que estáis comentando.

[natanael]

Re: Despeje

Esto es falso, el que no se anule la derivada (caso de que exista) es suficiente para la existencia local de inversa (y además que dicha inversa sea diferenciable) pero en absoluto es necesario como pone de manifiesto $f(x)=x^3$ como función real.

Ya me estoy volviendo un ocho, te refieres a que por ejemplo la derivada de $\dst x^3$, si esta definida desde $\dst (-\infty ,\infty )$, pero la de $\dst x^{\frac{1}{3}}$ nó, porque para $\dst x\to 0$, $\dst f(x)\to \infty$?

No, estaba presentando otro ejemplo donde la "inversa de la inversa" no da lo que "debería" dar, igual que el caso que estáis comentando.

Por ejemplo, si yo derivo $\dst y=\left\vert{}x \right\vert{}$, que puede ser lo mismo que $\dst y=\sqrt{x^2}$, y que $\dst \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x } =\dfrac{x}{\sqrt{x^2}}$, ahora para x=0 $\dst \nexists$ $\dst \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d}x }$, ahora, digo yó, que inversa de la funcion modulo tiene que ser la misma funcion módulo, por lo tanto sus derivadas existen en el mismo dominio.

Ahora, que rayos puede ser esto $\dst y={\sqrt{x} }^2$, ya que en $\dst \mathbb{R}$, existe su dominio sólo en el intervalo de $\dst [0,\infty )$, y su derivada $\dst \dfrac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} }$ nó, si no que va desde $\dst (0,\infty )$, ahora yo quisiera saber si en $\dst \mathbb{C}$, puede, tanto su derivada como su función tener el mismo dominio?.

O será que estaré confundiendo términos?

Gracias a todos.

[polonio]

Re: Despeje

Esto es falso, el que no se anule la derivada (caso de que exista) es suficiente para la existencia local de inversa (y además que dicha inversa sea diferenciable) pero en absoluto es necesario como pone de manifiesto $f(x)=x^3$ como función real.

Cierto. Sí, señor. Es suficiente, no necesario (se me fue la pinza: no se puede contestar tan rápido...)