Otras carreras Integrales impropias 2

[DaviaZ]

Hola de nuevo!, tengo un examen final el jueves que viene y me han quedado un par de dudas acerca de estas integrales si alguien me asiste estaré encantado :

Sobre todo quiero hacer enfásis en si son oscilatorias, divergentes, convergentes y que resultado expreso.

$\int_0^{\pi/2} sec^2x dx$ Arranque transformandola en lo siguiente, luego lo transforma en el limite, ya que no podría tomar el valor de $\pi/2$$\frac{1}{cos^2x}$ Luego no se como continuar .

y reemplaze a cosx=m quedandome: $\int \frac{1}{1+m^2}$

Ahora integro: $\lim_{b \to \pi/2}arctg cosx$ evaluado entre b y 0

$\lim_{b \to \pi/2}arctg cos(b) - arctg cos(0)$ = 0 - 45 = -45

Esta bien??

Segundo:

$\int_0^1 x lnx dx$ Hago el limite para a tendiendo a 0, etc. Halle la integral por partes, y la checkee por el geogebra lo cual me dio:

$\lim_{a \to 0} ln\left\vert{} x \right\vert{} \frac{1}{2 } x^2 - \frac{1}{4 }x^2 dx$ Evaluado entre 1 y a

De lo cual me resulta mi duda:

ln 1 . 0,5 - 0,25 - (-$\infty. 0 - 0$ Si no me equivoco el limite cuando a tiende a 0 de lnx es -$\infty$, pero si lo multiplico por 0 es una indeterminación matemática, como puedo expresar el resultado o acaso fallé en algo??

Tercero:

$\int_{-\infty}^0 \frac{1}{ x+2}dx$ Lo separo en dos integrales:

$\int_{-\infty}^{-2} \frac{1}{ x+2}$+$\int_{-2}^0 \frac{1}{ x+2}$ Sepan disculpar si no escribo los limtes tendientes a -2 en sendos miembros, pero allí estan presentes en su imaginación

Integrando, y haciendo el limite:

{ln$\left\vert{} x+2 \right\vert{}$entre 0 y -2} + {ln$\left\vert{} x+2 \right\vert{}$ entre -2 y $-\infty$}

He aquí mi duda: Suponiendo que están los limites que tienden a -2

{ln 2 - ln$\left\vert{} 0 \right\vert{}$} + {ln $\left\vert{} 0 \right\vert{} - ln\left\vert{} -\infty \right\vert{}$}
ln2 -(-$\infty$) + ($-\infty$ $-\infty$)
Me queda $\infty-\infty$ No es una indeterminación matemática??

Muchas gracias y disculpen cualquier error de concepto que pueda tener

[carmelo]

Re: Integrales impropias 2

Hola:
1) $\dst\int_0^{\dst\frac\pi 2}\dst\frac 1 {\cos^2 x}\dd x=\dst\lim_{t \to \dst\frac\pi 2}\dst\int_0^{t}\dst\frac 1 {\cos^2 x} \dd x=\dst\lim_{t \to \dst\frac\pi 2}(\tan t-\tan 0)=+\infty$
La integral no converge

2) $\dst\int_0^1 x \ln x \dd x = \dst\lim_{t\to 0}\dst\int_t^1 x \ln x \dd x$
Hagamos el cambio de variable $u = \ln x$, de donde $x =e^u$ y $\dd x =e^u \dd u$, con lo que nos queda
$\dst\int_t^1 x \ln x \dd x=\dst\int_{\ln t}^0ue^{2u}\dd u$
Ahora apliquemos partes:
$\dst\int_{\ln t}^0ue^{2u}\dd u= \left[ \dst\frac{ue^{2u}}2\right]_{\ln t}^0-\dst\frac12\int_{\ln t}^0 e^{2u}\dd u =(0-t^2\ln t)-\dst\frac14 \left[ e^{2u} \right]_{\ln t}^0 =-t^2\ln t-\dst\frac14(1-t^2)$
Ahora se toma el límite:
$\dst\int_0^1 x \ln x \dd x =-\dst\frac14$
3) No lo hice, pero al parecer es una indeterminacion que hay que levantar. Despues lo veo mas detenidamente.

Saludos
Carmelo

PD: Vi mas detenidamente el tercero, la integral no converge, pero tampoco vas a encontrar una indeterminación en el límite. En cuanto pueda te subo lo que yo hice.

[DaviaZ]

Re: Integrales impropias 2

Hola carmelo! Gracias por la ayuda, pense que había corregido la burrada que hize en el primero pero parece que no jaja, viendo lo que hiciste me acordes de la derivada de la tangente , como hallarías la integral de $1/cos^2x$, pero sin saber que proviene de la tangente??

En el segundo ahí se me complica un poquito entender, no me han enseñado ese cambio que hiciste de la integral entre 1 y t a la otra entre 0 y ln(t), tampoco case porque apareció $e^{2u}$, en vez de $e^u$, ya que me parece que reemplazaste lnx por u y x por $e^u$.

Bueno espero a ver que me decís del tercero! Muchas gracias

[carmelo]

Re: Integrales impropias 2

Hola:

$$\dst \int \frac1{\cos^2x} \dd x=\dst \int \frac{\sin^2x+\cos^2}{\cos^2x} \dd x=\dst \int \frac{\sin^2x}{\cos^2x} \dd x+x$$

Aplicando partes a la integral obtenida:

$$\dst\int\frac{\sin x}{\cos^2x}\sin x\dd x=\dst\frac {\sin x}{\cos x}-x+\text{C}$$

donde:
$\begin{matrix}<br /> u=\dst\frac1{\cos x}& u^\prime=\dst \frac{\sin x}{\cos^2x}\\<br /> v =\sin x& v^\prime=\cos x<br /> \end{matrix}$

Sustituyendo el valor de 2 en 1 se llega al valor de la integral:

$$\dst \int \frac1{\cos^2x} \dd x=\frac{\sin x}{\cos x}+\text{C}=\tan x+\text{C}$$

En el segundo $e^{2u}$ surge de $e^u\cdot e^u=e^{2u}$

El tercero.
$\dst \int_{-\infty}^0 \frac 1 {x+2} \dd x=\dst \int^{\infty}_0 \frac 1 {2-x} \dd x=\dst\lim_{\begin{matrix}<br /> \epsilon \to 0^+ \\<br /> t\to+\infty<br /> \end{matrix}}{\dst\int_0^{2-\epsilon} \frac 1 {2-x} \dd x+\dst\int^{t}_{2+\epsilon} \frac 1 {2-x} \dd x}$
Creo que desde aca podes continuar, sino pregunta.

Saludos
Carmelo

[DaviaZ]

Re: Integrales impropias 2

Gracias Carmelo ! El uno fuera, en cuanto al dos que descuidado no me fije bien en detalle lo del $e^u$, eso ya lo entiendo, pero ahora que hiciste el tres, me estoy dando cuenta (sumado al la duda del cambio que hiciste en el número 2) que el profesor no nos enseño estos cambios que haces en la integral, me refieron por ejemplo al cambio de 0 ; $-\infty$ a $\infty$; o , si bien veo que cambiaste el signo, no entiendo como es bien el proceso, debo mirar un poco mas en profundidad en algún libro, tengo EL CALCULO, talvez allí este.

Gracias por el trabajo que te tomaste

[carmelo]

Re: Integrales impropias 2

Hola:

En el Calculo, de Apostol esta bastante bien explicado. Se trata de el método de cambio de variables o sustitucion, si no lo vistes, seguro que en algun momento lo vas a ver. Basicamente consiste en llegar a una integral mas sencilla mediante una sustitucion apropiada.

Por ejemplo si tenes la integral:

$\dst\int\frac{\cos x}{\sin x}\dd x$, podes hacer la sustitución.
$u=\sin x\Rightarrow \dd u = \cos x \dd x$

Por lo tanto la integral que obtendrìas sería:
$\dst\int\frac 1 u \dd u=\ln u +\text{C}$

Como se trata de una integral indefinida, hay que deshacer el cambio de variable y entonces nos queda:
$\dst\int\frac{\cos x}{\sin x}\dd x=\ln (\sin x)+\text{C}$


Saludos
Carmelo

[DaviaZ]

Re: Integrales impropias 2

Hola! En realidad a lo que me refería con el cambio, es en las variables que se escriben arriba y abajo de la integral, como hiciste en el punto 2 y 3, el método de sustitución si me fue enseñado. No se si me explico bien, cualquier cosa dime.

[carmelo]

Re: Integrales impropias 2

Hola:

Eso se refiere al metodo de sustitucion para integrales definidas. Si haces el cambio de variable $u=f(x)$ y los límites originales de integración eran $a$ y $b$, los nuevos límites de integración van a ser $f(a)$ y $f(b)$.

Saludos
Carmelo

[DaviaZ]

Re: Integrales impropias 2

Bueno, lo voy a mirar bien al tema ese, muchas gracias!