Otras carreras Ayuda derivadas e integrales

[Jakost]

Bueno estoy terminando la secundaria y muy proximo a la universidad y me interesan mucho los temas fisico-quimicos y matematicos pero veo que en muchas de la explicaciones aparecen integrales y derivadas y me gustaria empezar a entender el tema, lei algunas cosas por internet pero no me han quedado claras, si alguien es tan amable de explicarmelo desde el principio se los agradezco !

Saludos y desde ya muchisimas gracias

[DamianV]

Re: Ayuda derivadas e integrales

Me parce que estas pidiendo un poco mucho, pero vamos a ver....
La derivada...la derivada de una cosa respecto a otra es la respuesta a cuanto cambia una cosa respecto de la otra. Por ejemplo, tenés que la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo. Entonces se dice que algo se mueve más rápido si para un intervalo corto de tiempo su posición cambia mucho. La definición es la siguiente:
$\dst\frac{df}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ esto es la derivada de f con respecto a x, lo que mide es, dado un punto $x_0$, si lo varias un poquito (eso está dado por (x+h)-(x) que sería lo que debería ir en el denominador pero como la x se va...) que tanto varía la $f$, y lo que te da es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese momento, porque si lo ves es como un super zoom a la curva ¿no? Entonces otra definición puede ser como la transformación lineal que, aplicada a un incremento y sumada a la función evaluada en el punto es lo que mejor aproxima a la curva en ese entorno. Por esto es que "sirve para algo" porque podés tener una función muy complicada y aproximarla localmente por una recta, o "simplemente" para ver como una cosa cambia con respecto a otra. De acá se pueden sacar conclusiones por ejemplo que si la derivada es cero siempre, en realidad las cosas que están comparando no tienen nada que ver una con la otra, si la derivada es positiva, la función es creciente, si es negativa decreciente... y así podés seguir.
La integral....otro día te cuento jajaj pero básicamente es el área abajo de la gráfica y se puede ver como una suma de infinitas cosas chiquititititas

[Jakost]

Re: Ayuda derivadas e integrales

gracias damian lo de la derivada lo he entendido bastante, esperare por la integral que no me ha quedado muy claro pero muchisismas gracias!

[DamianV]

Re: Ayuda derivadas e integrales

A ver, el tema con las integrales (y también con las derivadas) es que no es un concepto que puedas asimilar de un día para el otro, no es que trate de desanimarte, es que podés verlas de muchos puntos de vista. Por ejemplo, derivar como te mostré en el post anterior es hallar un límite, pero las funciones son siempre las mismas, yo que se, polinomios, exponenciales, logaritmos, senos, cosenos.. y ta, un par de rebuscaditas más, como el arcotangente hiperbólico, pero a esas nadie les da bola. La cosa es que es hacer una cuenta ¿ta? es como multiplicar, y como las funciones son siempre las mismas, las derivadas y las reglas también, nunca te vas a poner a hallar el límite cuando h tiende a cero de de $(x+h)^2-x^2$...bla..bla. La derivada de $x^2$ es $2x$ PUNTO y en general la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$. Pero si lo vez como una cuenta no tiene mucho sentido, es confuso un poco no? Pero el tema es que es así, vos podés derivar la función más 'fea', ta y te va a dar otra función mas o menos fea no importa. Es que vos estás hallando, una cosa que te puede servir o no, por eso hasta que no la precises va a carecer de sentido hallarla. En cambio, si vos querés graficar una función, (un ejemplo choto) pero no tenés idea de como es, la derivada te puede dar LOCALMENTE al menos si es creciente o decreciente o lo que sea el comportamiento lineal.
La integral es 'la cuenta opuesta' pero mirá que eso es pura casualidad jaja, no tiene nada que ver con el concepto, la integral viene de sumar cositititas, parte del problema, tengo una curva toda fea y quiero saber cuanto vale el área abajo, y bueno como uno pensaría vale un poquito más que un rectángulo tal que su altura sea el mimimo de la función y poquito menos que el rectángulo 'de afuera', a ver este dibujo capaz que te ilustra un poco

Pero no tenés por qué tomarte todo el intervalo, es más si hacés dos rectangulitos azules y dos rojos vas a tener más presición


Y bueno, así sucesivamente hasta que el área roja sea igual al área azul. Y cuantas divisiones habría que hacer...? Si, infinitas. Por eso es que ta, para entender bien el concepto de integral tendrías que estudiar series primero y hacerte a la idea que la suma de infinitas cosas puede no dar infinito, como por ejemplo, no se en qué película aparecía la ilustración de una serie geométrica diciendo imaginate que la distancia entre vos y yo es 1, ahora camina la mitad hacia mi (1/2), ahora la mitad de eso (1/2(que ya habias caminado)+1/4) ahora la mitad (1/2+1/4 (que ya habias caminado)+1/8) y así sucesivamente. Vas a estar tan cerca de mi como quieras pero nunca vas a llegar a tocarme. Con esto a que llegamos? A que 1/2+1/4+1/8+......+1/2^n con n tendiendo a infinito tiende a uno. Entonces lo que se llama suma de Riemman inferior y superior es la suma de los rectangulitos cada vez más chiquitos, si existe el límite cuando n tiende a infinito (infinitos rectangulitos infinitamente finos) y son iguales la suma superior y la inferior ESE LIMITE es la integral entre los dos extremos de la función. Explicado así parace una cosa larguísima de calcular, pero acá entra el teorema fundamental del cálculo que dice (groseramente hablando) que la derivada y la integral son operaciones opuestas, este resultado es una de las cosas mas bellas y utiles de la matemática. Porque mirá, ahora si querés saber el área bajo una gráfica, en vez de tener que hacer esa suma y tomar el límite (cosa que igual se puede hacer) simplemente 'antiderivás' y tá, derivar es fácil, uff.
Bueno, eso, en pocas palabras la derivada mide el ritmo de cambio entre dos cosas y linealiza en un entorno de un punto. La integral suma infinitas cosas tan chiquitas como te puedas imaginar y da la casualidad que son operaciones opuestas. Todo esto es un salpicado, no pretendas aprenderte las reglas y andar derivando por la vida sin tomar precauciones, puede ser muy peligroso jaja, no en serio, el tema es que son conceptos que se deben profundizar y que lleva un proceso mental de asimilar y creo que nunca terminás de comprenderlo 100%, espero que no, si no no tendría gracia.
Saludos.