Primaria Integral Gaussiana en Dominio Finito - Problemas con el Cálculo Numérico

[M_Odes]

Estaba planeando la respuesta a un post, en el cual me comprometo a calcular la integral

$\displaystyle{\int _{0}^{1} {e}^{-{\omega}^{2}} \dd \omega}$

solo con el uso de una calculadora. dicho compromiso fue asumido por mi parte ya que antes había hecho el cálculo con baja precisión que me dió 0.88, si bien el valor real con total precisión en dos decimales es 0.84
Traté de reproducir mis cálculos y me encuentro con que no se acercan!

la razón de esto ya fue aclarada, ahora sí:

Integral Gaussiana en Dominio 0 a 1 Finito - Cálculo Numérico

Vamos a calcular el valor para la integral

$$\int _{0}^{1} {e}^{-{\omega}^{2}} \dd \omega$$

lo que hize fue tomar la expansión Taylor para la función ${e}^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{x}^{k}}{k!}$ e introducir $-{\omega}^{2}$ en el argumento del mismo, dando como resultado la expansión en series

$${e}^{-{\omega}^{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{k}{\omega}^{2k}}{k!}$$

esta expansión converge para todo el dominio de la función exponencial, lo cual se puede comprobar con los criterios de convergencia. ( por ejemplo tomar $\lim k \to \infty \left\vert{} \frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}\right\vert{}=\frac{1}{R}$ donde $a_{k}$ es el coeficiente k-ésimo en la expansión en series de potencias de $x$ y R es el radio de Convergencia de la serie)

Integrando la ecuación (2) en el dominio (0,1) a ambos lados, tendremos como resultado

$\displaystyle{\int _{0}^{1} {e}^{-{\omega}^{2}}\dd \omega=\int _{0}^{1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{k}{\omega}^{2k}}{k!}\dd \omega =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{k}}{k!}\int _{0}^{1} {\omega}^{2k} \dd \omega=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{k} {\left( 1 \right) }^{2k+1}}{\left( 2k+1\right) k!}\Rightarrow }$

$$\int _{0}^{1} {e}^{-{\omega}^{2}}\dd \omega=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{{\left(-1\right)}^{k}}{\left( 2k+1\right) k!}$$

tomando los primeros seis términos de la sumatoria en (3) tenemos que

$$\int _{0}^{1} {e}^{-{\omega}^{2}}\dd \omega\approx\sum_{k=0}^{5} \frac{{\left(-1\right)}^{k}}{\left( 2k+1\right) k!} = 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{10 } -\frac{1}{42 } +\frac{1}{216 } -\frac{1}{1320 }=0.7467$$

computacionalmente el resultado se ve comprobado aquí

Usando la Regla de Simpson

La regla de simpson se puede resumir a la ecuación

$$\int_{a}^{b} f(x) \dd x \approx \frac{b-a}{6}\left( f(a)+4 f\left( \frac{a+b}{2} \right) +f(b) \right)$$

así solo es necesario computar los valores $f(x)=e^{-{x}^{2}}$ $a=0$ $b=1$ en la ecuación, que dá como resultado el valor de 0.7471, el error asociado a este método es $\displaystyle{\frac{\left( b-a\right)^{5} }{180}\left\vert{} f^{(4)}(\alpha) \right\vert{} }$ donde $\alpha \in (a,b)$

Comentarios Finales
Esta integral puede calcularse también mediante el uso de las sumas Riemann, o tantas reglas del cálculo numérico que desconozco.
Finalmente agradezco la motivación que me proporcionó Jakost para la elaboración de este hilo al manifestarme su curiosidad, espero que satisfaga sus espectativas.
También agradezco la pronta reacción de carmelo la cual me enteró de mi error. muchas veces uno se aferra a un esquema de trabajo olvidando eso de "si quieres resultados distintos no hagas siempre lo mismo" en mi caso me dió lo mismo de manera acertada pero mi perplejidad me impidió darme cuenta por mi mismo de mi error.

Saludos!

[carmelo]

Re: Integral Gaussiana en Dominio Finito - Problemas con el Cálculo Numérico

Hola:

Probablemente no llegues a ese valor porque es incorrecto. Yo he hecho la aproximación que tu planteas y obtengo:

$$\dst\int_0^1e^{-x^2}\dd x=1-\frac13+\frac1{10}-\frac1{42}+\frac1{216}-\ldots \approx 0.747$$

Saludos
Carmelo

[M_Odes]

Re: Integral Gaussiana en Dominio Finito - Problemas con el Cálculo Numérico

Hola:

Probablemente no llegues a ese valor porque es incorrecto. Yo he hecho la aproximación que tu planteas y obtengo:

$$\dst\int_0^1e^{-x^2}\dd x=1-\frac13+\frac1{10}-\frac1{42}+\frac1{216}-\ldots \approx 0.747$$

Saludos
Carmelo

Si, en mis intentos posteriores siempre me daba 0.74, sin importar la manera en que calculara la integral a mano, tenía en mi mente la idea de 0.84 debido a que estaba comparando la integral que quería resolver con el valor para la integral guassiana normalizada en el dominio 0 a 1, que si da 0.84

podemos comparar los resultados en los siguientes enlaces de Wolfram Alpha

Integral Gaussiana Domino 0 a 1
Integral Gaussiana Domino 0 a 1 Normalizada