1r ciclo Ecuaciones recta tangente de una curva que pasa por un punto.

[_OJ_287_]

Hola muy buenas estoy atascado en este ejercicio aver si alguien me puede ayudar.
La curva es: y=x^2 /(x-1)
Y las rectas pasan por: (2,0)
Esque me salen ecuaciones que me parece hay que solucionar con metodos como el de Newton Rapshon y no se usarlos.
Muchas gracias. Un saludo!

[skinner]

Re: Ecuaciones recta tangente de una curva que pasa por un punto.

No sé por qué nadie ha respondido aún, pero me parece que la respuesta no es demasiado complicada, aunque quizá me esté confundiendo.

La ecuación de la recta tangente a una función en un punto adopta la forma:

$$\dst g(x)-f(x_0)=g'(x_0)(x-x_0)$$

Nuestro punto es $\dst P(x_0, g(x_0))=(2,0)$ por tanto, (1) se reduce a:

$$\dst g(x)-0=f'(2)(x-2) \rightarrow \boxed{g(x)=g'(2)(x-2)}$$

Derivamos la función que nos dan:

$\dst g'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\ldots=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$

Finalmente sustituimos para $x=2$, obteniendo $g'(2)$ y sustituimos en (2):

$$g'(2)=\frac{4-4}{1}=0 \rightarrow \boxed{g(x)=0}$$

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Acabo de darme cuenta mientras hago el ejercicio gráficamente, que ésta no es la respuesta. Sin embargo, creo que no he errado en ningún paso, ¿alguien puede explicarme por qué entonces no coinciden resultados analíticos con resultados gráficos?

Un saludo amigos

[angel relativamente]

Re: Ecuaciones recta tangente de una curva que pasa por un punto.

Skkiner, creo que tu error está en considerar que dicho punto pertenece a la función. Pero no, el punto es un punto cualquiera del plano cartesiano donde no está definida la función, luego no podrás hallar la derivada en dicho punto. Yo el ejercicio lo resolvería de la siguiente manera. Derivamos la función $g(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$

Que nos da como bien apuntabas:

$$g'(x)=\dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2}$$

Hagamos el cambio x=a (para no liarnos con la notación):

$$g'(a)=\dfrac{a^2-2a}{(a-1)^2}=m$$

Eso nos da la pendiente de las rectas tangentes a g(a) en función de "a". Un punto genérico de la función g(a) es $\left(a,\dfrac{a^2}{a-1}\right)$

La ecuación pto. pendiente la escribimos:

$$y=y_0+m(x-x_0)$$

Siendo $(x_0,y_0)$ nuestro punto genérico y $m$ nuestra pendiente, sustituyendo:

$$y=\dfrac{a^2}{a-1}+\left[ \dfrac{a^2-2a}{(a-1)^2}\right] \cdot (x-a)$$

Recordemos que las rectas han de pasar por (2,0). Sustituyendo:

$$0=\dfrac{a^2}{a-1}+\left[ \dfrac{a^2-2a}{(a-1)^2}\right] \cdot (2-a)$$

Ahora podemos despejar $a$:

$$a_1=0 \qquad \text{or} \qquad a_2=\dfrac43$$

Luego las pendientes de las rectas tangentes serán:

$g'(0)=0$

$g'\left(\dfrac43 \right)=-8$

Que usando de nuevo la ecuación pto. pendiente nos salen las rectas:

$y=0$
$y=-8x+16$

Comprueba que geométricamente esto es así

Espero haberme explicado.
¡Un saludo!

[skinner]

Re: Ecuaciones recta tangente de una curva que pasa por un punto.

Qué tonto soy, siempre me pasa lo mismo...

Muchas gracias Angel, muy amable.

Cuídate