1r ciclo Demostracion por Induccion Matematica

[MonsterV]

Que tal personas del foro, no he podido demostrar la siguiente propiedad a ver si me pueden guiar un poco.
2+5+8+...+(3n-1) = n(3n+1) /2

Hice la demostración para p(1)
Después defino mi hipótesis inductiva.

2+5+8+...+(3n-1) = n(3n+1) /2

como p(n) implica p(n+1)
2+5+8+...+((3n+1)-1) = n+1((3n+1)+1) /2
Es decir:
2+5+8+...+3n = n+1(3n+2) /2
Que es lo que se quiere demostrar.

Haciendo uso de la H.I. y sumando en ambos lados de la igualdad el 3n queda.

2+5+8+...+ 3n-1 + 3n = n(3n+1)+3n /2
2+5+8+...+ 3n-1 + 3n = n(3n+1)+ 2*3n /2
2+5+8+...+ 3n-1 + 3n = 3n^2+n+ 6n /2
3n-1 + 3n = 3n^2+ 7n /2

Pero al llegar a esto no veo como puedo demostrar lo antes expuesto, creo que tengo que factorizar la expresión que me queda, pero igual no he llegado a demotrar la propiedad, agradecería mucho si alguien pueda responderme la duda.

[lindtaylor]

Re: Demostracion por Induccion Matematica

$\displaystyle \forall n\in \mathbb {N}$ $(\sum_{i=1}^{n}={\frac {1}{2}n(3n+1))$



Hip: $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(3i-1)={\frac {1}{2}n(3n+1)$



Ti $\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}(3i-1)={\frac {1}{2}(n+1)(3(n+1)+1)$


Dem:

$n=1 \rightarrow 2=2 \Leftrightarrow$ $V$.

$\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}(3i-1)$$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}(3i-1)+(3(n+1)-1)$

$=_{HI}\frac {1}{2}(n(3n+1))+(3(n+1)-1)$

$=\frac {1}{2}(n(3n+1)+2(3(n+1)-1))$


$=\frac {1}{2}(3n^2+n+3n+3+3n+3-2)$

$=\frac {1}{2}(3n^2+n+3n+3+3n+1)$

$=\frac {1}{2}(n+1)(3n+3+1)$

$=\frac {1}{2}(n+1)(3(n+1)+1).$

$\therefore$ $\displaystyle \forall n\in \mathbb {N}$ $(\sum_{i=1}^{n}={\frac {1}{2}n(3n+1))$

[MonsterV]

Re: Demostracion por Induccion Matematica

Que tal gracias por contestar a mi pregunta pero no se si este correcto el paso en la linea 8 en la que multiplicas el 2(3(n+1)-1) pues el 3 multiplica a n no a la expresión n+1. Eso es lo que creo pero si no es correcto agradecería me ilutraras por que haces eso.

[lindtaylor]

Re: Demostracion por Induccion Matematica

el $(3(n+1)-1)$ viene de la sumatoria evaluada en $(n+1),$ $\displaystyle \sum_{i=1}^{n+1}(3i-1)$$\displaystyle =\sum_{i=1}^{n}(3i-1)+(3(n+1)-1)$ (fíjate en los indices de la sumatoria) por eso el 3 multiplica a $(n+1)$ .

[MonsterV]

Re: Demostracion por Induccion Matematica

Ya entendí gracias por la ayuda.

[MonsterV]

Re: Demostracion por Induccion Matematica

Una ultima pregunta no importa que haga la demostración con 1 si la sumatoria empiece desde 2. Si la hago sustituyendo a n por dos no me da la igualdad en ambos lados y con 1 si.